Aca va otro...
Demostrar que todo plano que sea tangente al cono \(z^2=x^2+y^2\) pasa por el origen.
Saludos!
Tema
22/12/07
Le pregunté este ejercicio a una de las ayudantes y esto es lo que entendí que hay que hacer:
Tomo \(F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2\)
y la superficie de nivel de F: \(S=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3/F(x,y,z)=0 \}\)
Ahora evalúo el plano tangente en un punto \(P \in S\)
$$\Pi : \left< \nabla F(P) , X-P \right> = 0$$
$$= \left< (2P_1, 2P_2, -2P_3), ( x-P_1, y-P_2, z-P_3 ) \right> =$$
$$= 2P_1(x-P_1)+2P_2(y-P_2)-2P_3(z-P_3)$$
reemplazo \((x,y,z)=(0,0,0)\) y queda
\(-2P_1^2-2P_2^2+2P_3^2 = -2(P_1^2+P_2^2-P_3^2) = -2 F(P) = 0\) (porque \(P \in S) \;\; \Box\)
Seguramente me faltaron dar justificaciones teóricas, pero creo que la idea es esa
Firma
"If debugging is the process of removing bugs, then programming must be the process of putting them in." -- Dijkstra
Si no lo lográs ver te recomiendo pensar a \(z^2 = x^2 + y^2\) como \(z = \pm |(x,y)|\)
$$f(x,y)_1 = |(x,y)|$$
y
$$f(x,y)_2 = - |(x,y)|$$
Si intentás visualizar el gráfico de f(x,y) claramente todos los planos tangentes en cada punto van a pasar por el orígen.
Analíticamente es como te dijo daniel.
Saludos.