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Hola, necesito ayuda con este ejercicio.
Sea E el elipsoide definido por
Cualquier ayuda es bienvenida
Saludos!
Posible resolución:
Tomo \(F(X)=3x^2+y^2-2xy+z^2\)
Para que el plano tangente sea perpendicular a alguno de los ejes, debo pedir que la normal sea de la forma
\(\lambda (1,0,0)\) ó \(\lambda (0,1,0)\) ó \(\lambda (0,0,1) \hspace{1cm} \lambda \in \mathbb{R}\).
La normal del plano tangente a un punto está dada por el gradiente de la función en el punto, por lo tanto:
Entonces me quedan 3 sistemas de ecuaciones:
(1) \((3P_1+P_2, P_2-P_1, P_3)=(1,0,0)\)
(2) \((3P_1+P_2, P_2-P_1, P_3)=(0,1,0)\)
(3) \((3P_1+P_2, P_2-P_1, P_3)=(0,0,1)\)
de (1) saco que una posible solución sería \(\lambda_1 (\frac{1}{4},\frac{1}{4},0)\)
Hallo \(\lambda_1\) para que la solución pertenezca a \(E\) reemplazando \((\frac{\lambda_1}{4}, \frac{\lambda_1}{4},0)\) en la ecuación de E y obtengo \(\lambda_1 = \frac{4}{\sqrt{2}}\)
Por lo tanto, una de las soluciones es el punto \((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)\)
Haciendo lo mismo con (2) y (3) obtengo los puntos \((\frac{1}{18},\frac{-1}{6},0)\) y \((0,0,1)\)
Espero que esté bien resuelto
"If debugging is the process of removing bugs, then programming must be the process of putting them in." -- Dijkstra