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Tema

Ejercicios del 1º parcial

10 respuestas 8884 visitas
#1 Zaphod

Estuve tratando y no puedo hacer unos ejercicios, si me pueden dar una mano, mil gracias

Calcular:

\(\bullet\)\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{xy({x}^{2}-{y}^{2})}{{x}^{2}+{e}^{x}{y}^{2}}\)

\(\bullet\)\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,1)}\frac{x(y-1)}{{e}^{x}-y}\)

\(\bullet\) Sea \(f\) diferenciable. Probar que para cualquier \(p\), existe algún \(v\) tal que \(\frac{\partial f}{\partial v}(p)=0\)

#2 Quimey

\(\frac{\partial f}{\partial v}(p)=<\nabla f(p),v>\) Desde este punto de vista es facil encontrar el v por ejemplo \(v=(-\frac{\partial f}{\partial x_2},\frac{\partial f}{\partial x_1},0,...,0)\)

Suerte con los otros 😄

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Quimey

#3 Carla

Hola, a ver si puedo ayudarte.

Si hay algo mal avisen..

Bueno en elsegundo, si tomas la recta x=0 el limite da cero. Probe con varias curvas y no puede probar que no existe asiq me tire a acotar y probar que si existe y es cero.

$$0\leq\vert\frac{x(y-1)}{e^x-y}\vert=\frac{\vert{x}\vert\;\vert{y-1}\vert}{\vert{e^x-y}\vert}\leq\frac{\left\|{(x;y)-(0,1)}\right\|^2}{\vert{e^x-y}\vert}\leq{ \left\|{(x,y)-(0,1)}\right\|^2}\rightarrow0$$
cuando \((x,y)\rightarrow(0,1)\)

Lo que use es que \(\vert{x}\vert\leq \left\|{(x,y)-(0,1)}\right\|\) y \(\vert{y-1}\leq \left\|{(x,y)-(0,1)}\right\|]\)

Lo que no estoy del todo segura es si se puede sacar directamente el denominador en el ultmimo paso, si alguien puede decirme se lo agradezco.

Espero que de algo te sirva
Saludos!

#4 Agustin

Carla escribió:

Bueno en elsegundo, si tomas la recta x=0 el limite da cero. Probe con varias curvas y no puede probar que no existe asiq me tire a acotar y probar que si existe y es cero.

Si veo bien, creo que tomando \(y=e^x - x^2\) sale que no existe

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$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
#5 Cloud

en el primero tomando rectas te da siempre 0.... asi q tirate a acotar:

$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy({x}^{2}-{y}^{2})}{{x}^{2}+{e}^{x}{y}^{2}}$$

Primero digo:

$$\textrm{Sabemos que $\lim_{x \rightarrow 0}e^x=1$ entonces si pedimos q $\delta<1$ vale que $|e^x-1|<1/2$ por la ${d}ef$ de limite, y de ahi saco: $1/2<e^x<3/2$}$$

entonces:

$$0 \leq \left|\frac{xy({x}^{2}-{y}^{2})}{{x}^{2}+{e}^{x}{y}^{2}}\right| \leq \frac{|x|.|y|.||(x,y)||^2}{{x}^{2}+\frac{1}{2}{y}^{2}} \leq \frac{|x|.|y|.||(x,y)||^2}{\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}{y}^{2}} \leq \frac{|x|.|y|.||(x,y)||^2}{\frac{1}{2}||(x,y)||^2} =$$
$$2.|x|.|y| \leq 2.||(x,y)||^2 \longrightarrow 0$$

Por lo q queda probado q el limite existe y da 0.

😄

dudas?....pregunten

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#6 Zaphod

Gracias, che...me salvaron de romper algo 🙂

#7 ragatsi

Es una acotacion que no me termina de cerrar... pero como es el admin debe tener toda la razon.

#8 Frangipani

uhh, me llevo sus minutitos entenderlo XD
Pero está buena la acotación que hiciste con el e^x

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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde

#9 Agustina

Agustin escribió:

Carla escribió:

Bueno en elsegundo, si tomas la recta x=0 el limite da cero. Probe con varias curvas y no puede probar que no existe asiq me tire a acotar y probar que si existe y es cero.

Si veo bien, creo que tomando \(y=e^x - x^2\) sale que no existe

Pero no estaría mal probar por esa curva? Porque \(x\)tiende a cero, si haces \(e^x - x^2\) esa expresión tiende a uno ya no te estarías acercando al origen, sino a otro punto. No se si se entiende lo que quiero decir...

#10 Mr. Satán

lo que pasa que en ese ejercicio piden (x,y) tendiendo al (0,1) , no al origen

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The End Of This Chapter...

#11 Agustina

Perdón, omitan mi preguntonta, no presté mucha atención al leer por lo visto.

Saludos.