La idea de este thread es poner los teoremas más importantes que pueden ser usados en los ejercicios prácticos y teóricos. Si bien Nico posteó separado un thread de función inversa, voy a agregarlo en este apunte, pero no con la profundidad que el trató el teorema. Es decir, la idea es tener bien claro que teoremas se pueden usar y qué hipótesis deben satisfacerce. Si creen necesario agregar algún teorema, solo coméntenlo. Además, la definición de límite y sus propiedades no las he colocado. Si precizan, las agrego. Otra aclaración; \(D\) siempre representará un conjunto abierto, mientras que \(K\) un conjunto compacto. Espero que los ayude.
DEFINICIÓN: Sea \(f:D\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}\). Si \(P\in D\), f es continua en \(P\) si \(\lim_{x\rightarrow P}f(x)\eq=f(P)\). PROPIEDADES: Sean f,g funciones continuas en P, pero escalares. Vale:
-\(f+g,f\cdot g\) son continuas en P. Si \(g(P)\neq0\Rightarrow\frac{f}{g}\) es continua en P.
-Si \(f(P)>0\), existe un entorno \(U\) alrededor de P donde \(f(x)>0,\;\forall x\in U\). De manera análoga, si \(f(P)<0\), existe un entorno \(V\) alrededor de P donde \(f(x)<0,\;\forall x\in V\).
-Si \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\;\Phi: I\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), esta última función continua en \(f(P)\), entonces \({\Phi}_{0}f\) es continua en P.
-Si \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m},\;f\eq=({f}_{1};{f}_{2};...;{f}_{m}),{f}_{i}:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\;1\leq i\leq m\). f es continua en \(P\Leftrightarrow {f}_{i}\) es continua en \(P\;\forall 1\leq i\leq m\).
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS:
-Teorema(de Bolzano): \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R},\;f(a)<0<f(b)\), continua sobre \([a,b]\). Entonces, existe \({x}_{0}\in (a,b)\) que verifica \(f({x}_{0})\eq=0\).
-Corolario: \(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\;f(a)<c<f(b)\), continua sobre \([a,b]\). Entonces existe \({x}_{0}\in (a,b)\) que verifica \(f({x}_{0})\eq=c\)
-Generalización a varias variables: Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\), continua en \(D\), y sean \(a,b\in D\) tales que el segmento de extremos a y b está contenido en \(D\). Además, \(f(a)<c<f(b)\). Entonces, existe \({x}_{0}\) en el segmento de extremos a y b que verifica \(f({x}_{0})\eq=c\).
Propiedades de los conjuntos compactos: Sea \(K\) un compacto. Luego, valen los siguientes teoremas:
-***Teorema 1:***De toda sucesión de puntos de \(K\), se puede extraer una subsucesión de puntos que converge a un punto del compacto
-***Teorema 2:***Sea \(f:K\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\) continua sobre \(K\). Luego, la imagen de \(f\) está acotada y alcanza sus máximos y mínimos absolutos sobre \(K\).
DIFERENCIABILIDAD:
DEFINICIÓN: Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\), se dice que existe la derivada de f en \({X}_{0}\in D\) en la dirección \(v\), o que existe la derivada direccional de \(v\) en \({X}_{0}\) y se nota \({f}_{v}({X}_{0})\), si el siguiente limite existe:
Nota: puede pedirse que \(||v||\eq=1\), aunque no es necesario.
**Definición:** si el vector \(v\) de la definición de derivada direccional es uno de los vectores de la base canónica de \(\mathbb{R}^{n},\;{e}_{i}\eq=\{0;0;...;1;...;0\},\;1\leq i\leq n\), donde el 1 es la coordenada i-ésima del vector, y todas las coordenadas restantes son 0, se nota \({f}_{{e}_{i}}({X}_{0})\eq={f}_{{x}_{i}}({X}_{0})\) y se llama ***derivada parcial respecto de \({x}_{i}\) de \(f\) en \({X}_{0}\)***. En términos del límite:
**TEOREMA:** si \(f\) es diferenciable en \({X}_{0}\), entonces existen todas las derivadas direccionales de\(f\) en \(P\), y las constantes \({a}_{1},\;{a}_{2},\;...;{a}_{n}\) son únicas y valen \({a}_{i}\eq={f}_{{x}_{i}}({X}_{0}),\;\forall\;1\leq i\leq n\). El vector \(a\) de la definición se llama ***el gradiente de \(f\) en \({X}_{0}\)*** y se nota \(\nabla f({X}_{0})\). Luego, una función \(f\) es diferenciable en \({X}_{0}\) si existen todas las derivadas parciales, y:
**Teorema:** Si \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\) es diferenciable en \({X}_{0}\in D\), entonces todas las derivadas direccionales existen y además:
$${f}_{v}({X}_{0})\eq=<\nabla f({X}_{0}),v>$$
**Definición:**si \(f:D\subseteq\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\), con \({X}_{0}\in D\), es diferenciable en el punto \(P\), entonces el plano:
se llama el ***plano tangente al gráfico de \(f\) en \(({x}_{0},{y}_{0},f({x}_{0},{y}_{0}),\;{X}_{0}\eq=({x}_{0};{y}_{0})\) ***, o también el plano tangente a \(f\) en \({X}_{0}\)
**DEFINICIÓN:**La transformación lineal \(T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(T(h)\eq=<\nabla f({X}_{0}),h>\) se llama ***la diferencial de \(f\) en \({X}_{0}\)*** y se nota \(Df({x}_{0})\eq=T(h)\eq=<\nabla f({X}_{0}),h>\)
**Teorema:** si \(f\) es diferenciable en \({X}_{0}\), entonces es continua en \({X}_{0}\).
**Extensión de la definición de diferenciabilidad:** Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m},\;{X}_{0}\in D\). Decimos que \(f\) es ***diferenciable en \({X}_{0}\)*** si existe una transformación lineal \(T:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}\) tal que:
Resulta que \(T\) es única, y además, \(Df({X}_{0})\eq=T(h)\eq=[T]\cdot h\), donde \([T]\) es la matriz de la transformación en las bases canónicas, se llama la ***diferencial de \(f\) en \({X}_{0}\)***. Además, \(f\eq=({f}_{1};{f}_{2};...;{f}_{m})\), la matriz \([T]\) satisface:
Teorema: Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m},\;f\eq=({f}_{1};{f}_{2};...;{f}_{m},\;{f}_{i}:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\;\forall 1\leq i\leq m\), \(f\) es diferenciable en \({X}_{0}\in D\Leftrightarrow {f}_{i}\) es diferenciable en \({X}_{0},\;\forall 1\leq i\leq m\). DEFINICIÓN: Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}\), se dice de clase \({C}^{1}\) en \(D\), o \(f\in {C}^{1}(D)\), si existen todas las derivadas parciales de las funciones componentes de f y son continuas en \(D\). TEOREMA: si \(f\) es de clase \({C}^{1}\) en \(D\), entonces \(f\) es diferenciable en cada punto de \(D\)
REGLA DE LA CADENA: Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m},\;g:U\subseteq \mathbb{R}^{m}\rightarrow \mathbb{R}^{k},\;D,\;U\) abiertos, \({X}_{0}\in D:f({X}_{0})\in U\).Si \(f\) es diferenciable en \({X}_{0}\) y \(g\) es diferenciable en \(f({X}_{0})\). Entonces \({g}_{0}f\) es diferenciable en \({X}_{0}\) y \(D({g}_{0}f)({X}_{0})\eq=Dg(f({X}_{0}))\cdot Df({X}_{0})\). En términos de las matrices,
***Corolario:*** Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\), y \(\Phi: I\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}\). Si \(\Phi\) es diferenciable en \({x}_{0}\in I\), y \(f\) es diferenciable en \(\Phi ({x}_{0})\in D\), usando la regla de la cadena, se obtiene que \(g\eq={f}_{0}\Phi\) es diferenciable en \({x}_{0}\) y \(g'({x}_{0})\eq=<\nabla f(\Phi ({x}_{0})),\Phi ({x}_{0}>\)
**TEOREMA (de Lagrange):** Sea \(g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\) continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\). Entonces existe \(c\in (a,b)\) que satisface:
$$g(b)-g(a)\eq=g'(c)\cdot (b-a)$$
**Teorema del Valor Medio:** Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\) diferenciable en \(D\). Sean \({P}_{1},\;{P}_{2}\in D\) tales que el segmento de extremos \({P}_{1},{P}_{2}\) está contenido en \(D\). Entonces, existe \(P\) en el segmento que satisface \(f({P}_{2})-f({P}_{1})\eq=<\nabla f(P),{P}_{2}-{P}_{1}>\)
**DEFINICIÓN:** sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n},\;{X}_{0}\in D\). Si \(f\) es diferenciable en \({X}_{0}\), se llama ***el jacobiano de \(f\) en \({X}_{0}\) y se nota \(J(f)({X}_{0})\) al \(\det([Df({X}_{0})])\)***.
**TEOREMA(de la función inversa):** Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\Rightarrow \mathbb{R}^{n}\) de clase \({C}^{1}\) en \(D\) y \({X}_{0}\in D\) tal que \(J(f)({X}_{0})\neq0\). Entonces, si \(f({X}_{0})\eq={Y}_{0}\), existen entornos \(U,V\subseteq \mathbb{R}^{n}\) de \({X}_{0},\;{Y}_{0}\) respectivamente, donde \(f:U\rightarrow V\) es biyectiva. Luego, existe \({f}^{-1}:V\rightarrow U\), siendo \({C}^{1}\) en \(V\). Además, en términos matriciales:
$$[D{f}^{-1}({Y}_{0})]\eq={[Df({X}_{0})]}^{-1}$$
**TEOREMA(de la función implícita, para funciones escalares)**. Sea \(f:D\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\;f\in {C}^{1}(D)\) y \({S}_{a}\eq=\{X\in \mathbb{R}^{n}:f(X)\eq=a\}\) y sea \(X\in {S}_{a}\). Sea \({f}_{{x}_{i}}(X})\neq0\). Entonces, existe \(\Phi :U\subseteq \mathbb{R}^{n-1}\rightarrow \mathbb{R}\), con \(U\) entorno alrededor del vector de \({R}^{n-1}\) que se obtiene al ''quitar'' la coordenada i-ésima \({x}_{i}\) de \(X\). Sea este vector \(Y\). Luego, \(\Phi\) satisface que es \({C}^{1}\) en \(U\), \(\Phi (Z)\eq={z}_{i}\), particularmente \(\Phi (Y)\eq={x}_{i}\), y \(f({z}_{1};{z}_{2};...{z}_{n-1};\Phi ({z}_{1};{z}_{2};...{z}_{n-1}))\eq=a,\; \forall Z\eq=({z}_{1};{z}_{2};...{z}_{n-1})\in U\)
Para \(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}\), las ecuaciones de la recta tangente y plano tangente a la gráfica de \(\Phi\), función implícita en \(P\) son(respecto de ''y'', y de ''z'' respectivamente):
$$<\nabla f(P),X-P>\eq=0$$
Además, \(\Phi '(x)'eq=-\frac{{f}_{x}(P)}{{f}_{y}(P)}\) en el primer caso, y
\(\{Phi}_{x} (x,y)\eq=-\frac{{f}_{x}(P)}{{f}_{z}(P)},\;\{Phi}_{y} (x,y)\eq=-\frac{{f}_{y}(P)}{{f}_{z}(P)}\), para el segundo caso.
**DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR:** Se definen como las derivadas parciales de las ''funciones derivadas parciales''. Vale el siguiente teorema:
**TEOREMA:** Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\) tal que existen \({f}_{{x}_{i}},\forall 1\leq i\leq n,\;{f}_{{x}_{i}{x}_{j}}\) y son continuas. Entonces vale que existe \({f}_{{x}_{j}{x}_{i}}\) y vale \({f}_{{x}_{j}{x}_{i}}\eq={f}_{{x}_{i}{x}_{j}}\)
**DEFINICIÓN:** Si en \(D\subseteq \mathbb{R}^{n}\) existen todas las derivadas parciales hasta el orden k y además son continuas en \(D\), la función se dice de clase \({C}^{k}\) en \(D\)(si particularmente sucede lo explicado para todo k, se dice de clase \({C}^{\infty}\) en \(D\))
**TEOREMA(de Taylor, de orden 2):**Sea \(f:D\subseteq\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R},\;f\in {C}^{3}(D),\;(a,b)\in D\). Sea \(r>0:B\eq={B}_{((a,b),r)}\subseteq D\). Entonces, para todo punto \((x,y)\in B\) se cumple:
donde:
\({H}_{f}(a,b)\eq={f}_{xx}(a,b){(x-a)}^{2}+2{f}_{xy}(x-a)(y-b)+{f}_{yy}{(y-b)}^{2}\), y se llama el ***hessiano de \(f\) en \((a,b)\)***
\({R}_{2}(x,y)\eq=\frac{1}{6}({f}_{xxx}(c,d){(x-c)}^{3}+3{f}_{xxy}(c,d){(x-c)}^{2}(y-d)+3{f}_{yyx}(c,d)(x-c){(y-d)}^{2}+{f}_{yyy}(c,d){(y-d)}^{3},\;(c,d)\) un punto intermedio incluido en el segmento de extremos \((a,b),\;(x,y)\). Se llama el ***el resto de orden 2 del polinomio de Taylor***. Además, el resto satisface \(\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}\frac{|{R}_{2}(x,y)|}{{||(x-a,y-b)||}^{2}}\eq=0\)
**TEOREMA(Taylor de orden 2, generalizado):** Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\;f\in {C}^{3}(D),\;a\eq=({a}_{1};{a}_{2};...;{a}_{n})\). Entonces, existe \(r>0:\forall h\eq=({h}_{1};...;{h}_{n}),\;||h||<r\), y satisface:
\(f(a+h)\eq=f(a)+<\nabla f(a),h>+\frac{1}{2}\sum_{1\leq i,j\leq n}f(a){h}_{i}{h}_{j}+{R}_{2}(h)\), valiendo que \(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|{R}_{2}(h)|}{{||h||}^{2}}\eq=0\)
Posteriormente pondré yo, o Nico, un resumen en la sección de ''extremos'' y de integrales. Hasta entonces, saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Me parece realmente muy bueno y útil lo que están haciendo. Dada la extensión del contenido, quizás sería bueno que consideren crear estos apuntes de forma local y postearlos renderizados en .ps/.pdf y/o directamente como source TeX. De esa forma, por ejemplo, sería cómodo imprimirlos para referencia; y se verían mejor. Además podrían distribuirlos con comodidad, si es su intención.
Adicionalmente el wiki de DC tiene un apunte de diferenciabilidad que usé para estudiar, por si sirve de algo y alguien no lo conoce:
El teorema de Bolzano para varias variables lo puedes extender de la siguiente forma:
Sea \(f:A\subset \mathbb R ^n\rightarrow \mathbb R\) continua y \(A\) un conjunto arco-conexo, entonces si \(f(a)<0<f(b)\), entonces existe \(c\in A\) de forma tal que \(f(c)=0\).
(Sin demostrar🙂 Si se cumple además que \(f(c)=0 \Longrightarrow{}c\in A\circ{}^\), entonces existe \(\alpha(t)\) continua en un abierto tal que \((f\circ{}\alpha)(t)=0\). Con este último enunciado se puede demostrar fácilmente el teorema de la función implícita.
