[Resuelto] Recuratorio 1er Parcial - Análisis 3).

3). Se sabe que \(0 \leq f(x,y) \leq | x \cdot sen (y) |\) en un entorno del \((0 ,0)\). Probar que \(f\) es diferenciable en \((0 , 0)\).

Para que \(f\) sea diferenciable en \((0 , 0)\) es condición necesaria que existan las derivadas parciales.
Veamos que existen las derivadas parciales, y tratemos de calcularlas:

Pero bajo la hipótesis, \(f(h,0)\) y \(f(0,0)\) no tienen otra opción que valer \(0\), por tener \(0 \leq f(h,0) \leq 0\) y \(0 \leq f(0,0) \leq 0\) Luego \(f_{x}\; = \; \lim_{h \rightarrow 0} \; \frac{0-0}{h} \; = \; 0\)

Análogamente, con \(f_{y}\), nos quedará \(f_{y}\; = \; \lim_{h \rightarrow 0} \; \frac{0-0}{h} \; = \; 0\)

Además, existiendo las derivadas parciales, será condición necesaria y suficiente que dado \(\epsilon > 0\), existe \(\delta > 0\) tal que \(||(x,y)|| < \delta \, \Longrightarrow | f(x,y) | < \epsilon\)

Bajo la hipótesis \(0 \leq f(x,y) \leq | x \cdot sen (y) |\), usando \(|x| \leq ||(x,y)||\), y que \(sen (y)\) está acotado por \(1\), se sigue que \(0 \leq f(x,y) \leq | x | \cdot | sen (y) | \; \leq ||(x,y)|| < \delta\). Tomando un \(\delta < \epsilon\) tenemos que \(| f(x,y) | < \epsilon\).

Luego, \(f\) es diferenciable en \((0,0)\)

Eso es lo que hice 😛, Espero que se entienda, y sea útil. Saludos.

Edit: Mirar más abajo, que esto no está del todo bien 😛 dps lo edito bien

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$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$

Editado 1 vez.

Yo lo hice parecido, pero probe que valia el limite de la diferenciabilidad. Como me asuste cuando lei este ejercicio.. me levente y le pregunte a la mina.. "pero.... no deberia decirte por lo menos q es diferenciable??"...dame otro dato mas, aunq sea minimoo!!! 🙁

Agustín, cuando estudiás diferenciabilidad estás estudiando el límite \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{f(x,y)}{||(x,y)||}\), con lo que tu cota no es adecuada; en efecto, tenés \(\frac{|f(x,y)|}{||(x,y)||}\leq \frac{|x\cdot \sin(y)|}{||(x,y)||}\leq \frac{|x\cdot y|}{||(x,y)||}\leq ||(x,y)||<\delta\). Fijate lo que digo.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Editado 2 veces.

Ok Ok, verdad.
Igual, fijate que era sen(y), pusiste de x. Pero la idea es la misma, gracias por corregir

Ya lo edité. Gracias.

Gracias a vos Marcelo por la corrección, ahora veremos que pasa, sé que tengo ese mal entonces =S

Fijense que ya estaba resuelto algo parecido en otro post:
Si \(0\leq f(x,y)\leq |x|^{\alpha}|y|^{\beta}\) con \(\alpha + \beta >1\) entonces f es diferenciable.
Usan esto mas \(|\sin(x)|\leq|x|\)

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Quimey

Es cierto; hicimos uno parecido antes del parcial(en realidad, esencialmente igual)