Averiguar en qué punto \(p \in \mathbb{R}^3\) este plano es tangente a una superficie de nivel de F. Indicar el nivel de dicha superficie.
...
Acá va mi intento frustrado de resolución. Saco el gradiente de F:
$$\nabla F = (\frac{1}{2}x, \frac{2}{9}y, z)$$
Entonces sé que el plano tangente a la superficie de nivel de F en un punto genérico \(p = (p_1,p_2,p_3)\) es de la forma:
$$\pi_p: <x-p_1,y-p_2,z-p_3; \nabla F> = 0$$
$$\pi_p: \frac{1}{2}p_1 x - \frac{1}{2}p_1^2 + \frac{2}{9}p_2 y ...$$
Mirando esto y el plano \(\pi\) "sé" que \(p = (6,-9,1)\). (NOTA: esto no es así, ver debajo). Esto salió de igualar \(\frac{1}{2}p_1 = 3\), etc.
Sin embargo, reemplazando en el plano genérico que había armado queda lo siguiente:
$$\pi' = 3x - 18 + 2y - 18 + z - 1 = 0$$
Entonces:
$$\pi' = 3x - 2y + z = 37$$
Y lamentablemente hasta acá llegué. No queda el mismo plano, no sé por qué sucede esto y no sé qué me dice esto (si no es una locura) del nivel de la superficie...
El error es muy pequeño, pero peligroso; cuando igualás los planos tangentes, notá que en realidad el punto que obtenés es \(p\eq=(6a,-9a,a)\). Es decir, no te olvidés que para tener el mismo plano necesitás que los vectores sean múltiplos. ¿Se entiende el error? De hecho, fijate que te quedó 37 en vez de 74, y este es el doble. Ahí extraés el valor de a
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Sí, tenés toda la razón... hasta creo que para el primer parcial lo tenía medianamente presente en alguna forma (recuerdo haber revisado si me daba un múltiplo en algún ejercicio), pero mis neuronas están sufriendo un genocidio y se nota. Muchas gracias... Marcelo, no?
Espero no parecer abusivo, pero cómo hago para obtener el nivel? Tiene que ver con reemplazar \(p = (12,-18,2)\) en F? Ya no le veo mucho el sentido, lamentablemente. Como quizás sea obvio no hice muchos de este tipo.
Una vez que obtuviste el valor de la constante, que era 2, obtenés que el punto en el que es plano tangente es \((12,-18,2)\). Puesto que la superficie de nivel se define como \({S}^{a}\eq=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{z}^{2}}{2}\eq=a\}\), reempazas el punto p que obtuviste y tenés \(74\). Me acuerdo que daba esto, además, cuando lo hice. Otra cosa, fijate que tiene mucho sentido, porque la superficie es un elipsoide, y el plano tangente al elipsoide solo va a serlo a un punto, si te imaginás la situación.
