Hola gente, no se como resolver este problema de diferenciacion, disculpen que no uso latex pero por ahora, apenas lo se abrir 😆 jejeje
F(x,y)= xy ln(x^2+y^2) si (x,y) ≠ (0,0)
0 si (x,y) = (0,0)
Estudiar la diferenciabilidad de f en R2
Si alguien me pinta una idea de como resolverlo buenisimo, yo lo unico que pude ver es que estas indeterminaciones las resolvia por L'hospital en una variable, pero ahora, nose. Vi que lo resolvian acotando el modulo de lo del ln por el modulo de una norma al cuadrado, pero no me cierra eso de una, porque el ln se va a menos infinito, entonces el modulo es mayor que la norma. Desde ya muchas gracias 😉
si... pero si haces eso, podes decir que el ln (u) .u tiende a cero, por composicion, pero afuera me queda xy sobre la norma al cubo, y eso no puedo probar q es acotado y no puedo llegar a que sea diferenciable, y lo peor de todo, es diferenciable aparentemente. :S
y si usas las propiedades del logaritmo no sale? por ejemplo te dejo esta idea \(\ln (x^2+y^2) = \ln ( (\sqrt{x^2+y^2})^2) = 2\ln (\sqrt{x^2+y^2})\) y ahora dividis y multiplicas por \(||(x,y)||\) luego \(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{xy \ln (x^2+y^2)}{||(x,y)||}=\)\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{2xy}{||(x,y)||^2} ||(x,y)||\ln (\sqrt{x^2+y^2})\) y ahora usas que \(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} ||(x,y)||\ln (\sqrt{x^2+y^2}) = 0\) y que \(\frac{2xy}{||(x,y)||^2}\)esta acotado entonces todo el limite da cero por la propiedad cero por acotado.
esto es asi por que la norma es una funcion continua y del cbc vos sabes que \(\lim_{u \rightarrow 0} u\ln (u)=0\) (basta aplicar l'hospital). entonces si llamamos \(g(u) = u\ln (u)\) y \(f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}\), \(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) entonces por algebra de limites \(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} g(f(x,y)) = 0\)
porque multiplique y dividi por la norma. estoy viendo si el lim de diferenciabilidad me da cero. me queda ese limite porque la funcion en el punto y las derivadas parciales me dan cero.
Ah sisisi. me comí que habías mandado una norma ahi como si nada 😛 Claro, te queda la norma del límite de diferenciabilidad y la otra es la que dividis. Ok.
Como demostrás bien que es acotado lo otro? porque es una \(x\cdot{y}\) arriba y \(x^{2}+y^{2}\) abajo...
Se me ocurre una idea pero es medio cualquiera:
\(\text{Sea}\) \(y=mx\) \(\text{la recta generica que pasa por el punto} (0,0)\)
jajaj esa es buena 😆 che quimey no me decis si lo que mande en el final de analisis 12/5/2010 en el punto 4 es fruta o esta bien ??? 😄 [no resuelto] Final 12/05/2010
