Analizar la continuidad de \(F(x,y)\) en los puntos \(P=(x_{0},y_{0})\) tal que \(2x_{0}^2-y_{0}=0\)
Esto es lo que yo hice:
$$f(x_{0},y_{0})=y_{0}-6$$
Para ver con que P la función sea continua, entonces quiero ver con que P se cumple \(|F(x,y)-(y_{0}-6)|<\varepsilon\)
Pero el resto lo resolvió de otro modo.
Alguien que lo resuelva >.<
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Tardé con un par de los otros y bueh, no pude hacer ese. El 3,4 y 5 creo que mas o menos fueron coherentes. En el 1 saqué bien continuidad pero tiré fruta en la diferenciabilidad.
Sip, mismo. El único que no hice. Aparte fué triste. Empecé escribiendo "...entonces me acerco por la curva \(2x^2 - y\) y...em...ah. da \(\frac{0}{0}\)".
La verdad tiene sentido lo que decís de acotarlo por def. En un ratito me pongo a hacerlo asi. 🙂
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Si ya posteaste esto es porque te debe estar comiendo la cabeza no saber si lo que hiciste esta bien, te digo lo primero que se me ocurre, pero nose si lo termino todo.
lo que se me ocurre es acercarme a cada uno de esos puntos por la curva \(g(t)=(x_o, 2{x_o}^2+t)\)con \(t\rightarrow o^+\)
\(f(x,y)=\frac{16sen(2x^2-y)}{2x^2y-y^2}\) te queda \(\frac{16sen(-t)}{(2{x_0}^2+t)(-t)} \rightarrow \frac{16}{2{x_0}^2}\) (el caso (0,0) lo miras aparte porque sino este limite no tiene sentido)
Ahora si la funcion fuese continua tendria que pasar que este limite sea igual al valor de la funcion evaluada en el punto, es decir, \(\frac{16}{2{x_0}^2}=y_0-6\) y sabiendo que \(2{x_0}^2-y_0=0\) esos puntos son \(y_0=8, -2\) el \(-2\) lo descartas pues \(2{x_0}^2-y_0=0\) pide que sea positivo, entonces tus opciones son los puntos \((2,8) (-2,8).\)
Tendrias que mirar esos puntos y el cero.
Yo me voy a estudiar, asique te lo dejo por el momento, seguro hay una forma mas facil, pero es lo primero que pense. Por lo menos ahora tenes que mirar solo tres puntos 😛
yo hice esto (ba, era otro tema, diferentes numeros..no se si esta bien..):
Si yo me acerco POR IZQUIERDA, el limite me quedaria asi:
\(\lim_{(x,y)\rightarrow(x_{o}y_{o})}\frac{16sen(2x^2-y)}{2x^2y-y^2}\) = \(\lim_{(x,y)\rightarrow(x_{o}y_{o})}\frac{16sen(2x^2-y)}{y(2x^2-y)}\) por lo que me quedo algo que tiende a 1 multiplicado por algo que tiende a \(\frac{16}{y}\)
por derecha, el limite queda:
$$lim_{(x,y)\rightarrow(x_{o}y_{o})} y-6$$
Por lo tanto, igualo los 2 limites, ya que para que sea continua nesecito que me tienda a lo mismo por izquierda que por derecha, y me queda una cuadratica:
$$y^{2}-6y-16=0$$
con eso saco los posibles y..en este caso \(y_{1} = -2\) y \(y_{2} = 8\)
Usando la condicion de que los puntos tal q \(2x^{2}-y=0\), reemplazo..si pongo el 8, me queda \(x^{2}=-4\) que no tiene sentido...
si reemplazo por el -2, me queda que \(x_{o}\) puede ser 1 o -1...
por lo tanto, la funcion es continua en los puntos (1, -2) y (-1, -2) y para el resto de los puntos tal que \(2x_{o}^{2}-y_{o}}=0\), la funcion es discontinua..
jajajjaa Gente, acabo de darme cuenta de que resolvi mal la cuadráticaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Todo el ejercicio ese hecho bien, y la cuadrática la resolvi maaaaaaaaal
jajajjaa Gente, acabo de darme cuenta de que resolvi mal la cuadráticaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Todo el ejercicio ese hecho bien, y la cuadrática la resolvi maaaaaaaaal
¿Me tiraran todo el ejercicio por eso? o.o
no creo :S...es un error de cuentas nomas, pero si el procedimiento esta bien, y justificado que es lo que qisiste hacer, seguro que te lo ponen bien..tambien depende del profesor que te corrija, pero de ultima quejate y seguro que te lo consideran bien..
yo tmp, igual a simple vista no da (el 1ero limite daria infinito), osea, la respuesta de los puntos no cambiaria, pero buen, no escribi que habia que considerarlo tambien :S..
edit: que boludo, creo que ni habria que considerarlo, porque el 0 no cumple la 1era ecuacion de donde sacas "y", tonces ya esta :S
si tomás \(y_{0}=0\) te queda \(x_{0}=0\) y es el caso de (x,y) tendiendo al (0,0) que no es continuo, pero creo que habría que demostrarlo a parte
si ya se eso..
a lo que voy es que el lim no cambia, y sigue valiendo que para que F sea continua, el lim de \(\frac{16}{y}\) tiene que ser igual al lim de \(y-6\), ..ahora, ese limite, como puse antes, solo se cumple si "y" tiende a -2 o si "y" tiende a 8, y NO se cumple si "y" tiende a 0 =S...por lo tanto ya esta, si y tiende a 0 la funcion no es continua, no importa el x..
ademas fijate que hay un monton de puntos, ademas del (0,0), que cumplen la ecuacion que \(2x^{2}=y\), pero todos esos puntos ya los "quemas" (incluido el (0,0) ) al tener la condicion de que para que los 2 limites sean iguales, "y" tiene que tender a -2 o 8 y no otro..(ni 0, ni 1, ni 2, ni 3, etc..)...tonces estarias "quemando" todos los puntos de la forma (x,0), (x,1) etc y te quedaria que F es continua en los puntos de la forma (x, -2) y (x,8)..
no se, asi lo veo yo, para mi no es necesario comprobar al (0,0) como un caso aparte..(ademas, porque solo el (0,0) hay que comprobarlo aparte, cuando hay infinidad de puntos que cumplen la ecuacion (ademas del (0,0)) de q \(2x^{2}=y\)? )..
igualmente me estoy basando en el procedimiento que hice yo, capaz que si lo hiciste de otra forma ahi sí tendrias que comprobarlo aparte, nose :S..
GRACIAS JUANMA Y EZE!
Creo que me fue bien. Respondi todos los ejercicios y este es el único sobre el que tenía dudas. Pero me pude haber equivocado en tantas cosas que uno nunca sabe =P
Así es como lo hice yo Eze:
Como \(P=(x_{0},y_{0})\) tiene que verificar \(2x_{0}^2-y_{0}=0\) Entonces:
Yo saque factor comun Y en el denominador en la funcion
$$f(x,y)=\frac{16sen(2x^2-y)}{2x^2y-y^2}$$
De manera que puedo decir q \(\frac{sen(2x^2-y)}{2x^2-y}\) tiende a 1, pues \(2x^2-y\) tiende a 0.
Luego, para que la funcion sea continua, el limite tendiendo a un punto debe valer lo mismo q ese punto. Entonces, como \(\lim_{(x,y)\rightarrow(x_{o}y_{o})}\frac{16sen(2x^2-y)}{y(2x^2-y)}\) tiende a \(\frac{16}{y}\) tenemos que \(\frac{16}{y}= y-6\).
Resolviendo esa cuadrática obtenes los valores de Y (\(8\) y \(-2\), creo) para los que se cumple esa igualdad, de manera que los unicos puntos en que F es continua son \((x,8)\) y \((x,-2)\)