$$\textrm{Sea $ g:R^2 \rightarrow R $ de clase $C^1 $ en $ R^2 $ y sea $ z=2x-10+3y $ el plano tangente al grafico de $g$ en el punto (1,1,-5).}$$
$$\textrm{Considerar la funcion $ \sigma (t)=((t+4)^2,t). $ Sea $ f:R^2 \rightarrow R $ definida como $ f= \sigma \circ g.$}$$
$$\textrm{Verificar que $ f $ es de clase $ C^1 $ en (1,1). ¿ Puede aplicarse el teorema de la funcion inversa?}$$
Bueno, yo se que \(g(x,y)\) es de clase \(C^1\) existe el plano tangente, existen las derivadas parciales, entonces es diferenciable y ademas el plano tangente es una muy buena aproximación de lo que vale la función en el punto, entonces mi duda es si yo puedo componer asi de una \(\sigma\) con \(g\) para despues sacarle el diferencial a la matriz esa (que da 0, entonces no es inversible).
¿O hay que hacer alguna otra cosita que no se me esta ocurriendo?
Bueno gracias!
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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...
Nop, con eso estás bárbaro. Vas a demostrar que f es c1
vas a llegar a la matriz diferencial cuyo determinante es 0.
Pero ATENTI. Esto no implica que la FUNCION no sea inversible, solo que la matriz no lo es.
Y esto quiere decir que no podés aplicar el teorema de la función inversa.
Es decir, puede que exista una inversa de f. Pero de existir no la podés calcular con este teorema. Que es justamente lo que el ejercicio preguntaba =P
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Una pregunta que porai queda medio boba...si se que g es C' por hipotesis, y veo que sigma es C' tambien, porque sus dos coordenadas son 2 polinomios, no puedo decir que f es C' por composicion de C'?
Y segundo, cuando intento hacerlo me quedo con algo parecido a...
Y, tengo que \(D(\sigma \circ g)_{(1, 1)} = D(\sigma)_{g(1, 1)} D(g)_{(1, 1)}\).
La primera parte la puedo calcular, porque se que el plano tangente a g pasa por el (1, 1, -5), entonces g tiene que estar definida en (1, 1), y g(1, 1) = -5. Quiero entonces \(D(\sigma)_{-5}\) (uso el subindice para indicar "evaluado en"...).
Conozco \(D\sigma\), y es
$$\begin{pmatrix} 2t + 8 \ 1 \end{pmatrix}$$
. Evalúo en -5 y me queda
$$\begin{pmatrix} -2 \ 1 \end{pmatrix}$$
.
Esto lo tengo que multiplicar por \(DG_{(1, 1)}\). Acá es donde me trabo, porque no tengo mucha idea de como encontrar \(DG_{(1, 1)}\) dado un plano tangente a ese punto en la superficie....osea, se que ese plano tiene que estar dirigido por los dos vectores de las derivadas direccionales (que son los que quiero encontrar para hacer DG), pero también está dirigido por infinitos otros pares de vectores...
Vos habías llegado a algo parecido, no? Como sacaste que era g para componer y sacar el diferencial?
Si calculo el determinante de esta matriz, es 0. Asi que, como vos decís, me queda una matriz no inversible, y el Teorema de la Función Inversa no me dice nada. 🙂
Creo que eso es lo que probé, a menos que ya esté demasiado quemado...
Yo se que el teorema no se puede aplicar si el jacobiano de f es 0. Me fijé el Df en (1, 1) para ver si su determinante era 0, y lo era. La onda era encontrar Df bién.
Pero quizás probé cualquier otra cosa? xD
A mi también me quedo que el determinante es \(0\), y en el parcial mi respuesta hubiese sido "no, no se puede aplicar el teorema de la función inversa porque el determinante es
\(0\)" xD