Sirve esta tecnica para acotar limites??? urgente ^^

Hola, pasado mañana tengo el parcial y no quiero quedarme con la duda de esto:

Si yo tengo \(\lim_{(x,y)%20\rightarrow%20(0,0)}\frac{{x}^{3}y+xy}{|y|+x^{2}}\)

¿puedo decir que el siguiente limite es mayor q el anterior?

Y luego sacar factor comun "y" para que el limite quede solo en funcion de "x".
¿como saco factor comun "y" del |y|??

Desde ya, gracias al q me responda 🙂

PD: tengo q sacarme esa duda antes del parcial, osea para mañana...

Editado 1 vez.

Ah, me olvidaba...
que pasa en el caso q tengo

Porque no puedo multiplicar la "x" por "y" ya que no se si "x" es positivo o negativo, por lo tanto no se si estoy achicando o agrandando el denominador... hay alguna forma de "zafar" de eso??

Gracias

Lo acotaría así, no sé si lo que hiciste vale, pero estoy (casi) segura de que esto si vale:

\(\leq\left|\frac{(x^3+x)y}{y} \right|\) \(=\left| x^3+x\right|\leq\left|x^3 \right|+\left|x \right|\)

Arriba tenés que acotar con algo mayor, abajo tenés que acotar con algo que sea menor.

Abajo hice esto, como sé que:

entonces

Y elevando esto a la menos uno, el mayor o igual se convierte en menor o igual, y te va a quedar lo qe querés para acotar en el divisor y así sos feliz, es claro que no vale lo mismo en el numerador, en ese caso tenes que acotar con algo mayor, y creo que lo dije arriba, perdón por mis redundancias.

El resto creo que se entiende, factor común, desigualdad triangular, y acotando por las normas, queda lo que hice.

Saludos!

Gracias, pero lo que yo uso me sirve para muchos casos... por eso quiero q alguien me diga si lo puedo usar o que tendria q cambiar 😄

Las respuestas son bienvenidas ^^

Vos planteas:

\(x^{2}y \leq x^{2}\) si \(x\neq 0\) ( x=0 sale fácil)

\(y\leq 1\) Eso significa que no vale siempre, si pedís delta<1 seguro que la podes usar

No podés sacar factor común y....si tuvieras y^2 podes sacar |y| pero no en este caso.

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The End Of This Chapter...

Esto vale realmente??

Porque en ese caso, el limite de \(\frac{{x}^{3}y+xy}{|y|+x^{2}y}\) es 0 (si pudiera sacar factor comun "y" y analizando el caso "y posit" e "y neg", ya que tengo un modulo de y)?? Debo estar equivocado pero no veo bien en donde...

Gracias

No: esa desigualdad que planteaste vos vale únicamente si \(|y|\leq 1\) para pedir eso tenés que pedir

delta<1 entonces si podés usar esa desigualdad.....tene cuidado si queres usarla cuando (x,y) tiendan a algo

distinto del (0,0).....

No podés acercarte a por derecha e izquierda para sacarte el módulo porque estas en R^2, no tiene sentido eso

en el plano

Pregunta medio relacionada:

\(\sqrt[ ]{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\leq\delta\textrm{?}\) \(\textrm{?}\)

No es parte de la def. de límite?

?

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

Me parecia, pero como vi que en un ejerecicio basicamente trataban de evitar eso me quedo la duda.

A ver, yo estaba haciendo este mismo ejercicio pero en uno que pide diferencial y continuidad,

yo lo hice de otra forma distinta, creo que sirve, acá les pongo.

\(lim_{(x,y)%20\rightarrow%20(0,0)}|\frac{{x}^{3}y}{|y|+x^{2}}|\) + \(lim_{(x,y)%20\rightarrow%20(0,0)}|\frac{{x}{y}}{|y|+x^{2}}|\) < \(lim_{(x,y)%20\rightarrow%20(0,0)}\frac{{|x}^{3}||y|}{|y|+x^{2}}\) + \(lim_{(x,y)%20\rightarrow%20(0,0)}\frac{|{x}||{y}|}{|y|+x^{2}}\)

Uso la desigualdad con los modulos y me queda que esto:

\(lim_{(x,y)%20\rightarrow%20(0,0)}\frac{|y|}{|y|+x^{2}}\) < 1

acoto y me queda \(lim_(x,y)\rightarrow(0,0) |x|+|x^{3}|\)

Acoto otra vez \(lim_(x,y)\rightarrow(0,0) {|x|+|x|^3}\) < \(lim_(x,y)\rightarrow(0,0) {||(x,y)||+{||(x,y)||}^{3}} < \delta +\delta^{3}\)

Ahora pido \(\delta = 1\) y \(\delta +\delta³\) = \(2\delta\)

Mi problema es cuando quiero calcular si es diferenciable, las derivadas parciales me dieron 0 y 0 y el límite me queda igual que este pero el problema lo tengo con la norma