Primer Parcial - 1er cuatrimestre 2008

4. Decidir si la función fog es diferenciable en (0,0). En caso afirmativo, calcular la matriz de la diferencial de fog en el punto (0,0).

b) g: R2->R3, g(x,y) = ((x-y)^2 , (x-4)^4)
f: R2->R2, f(u,v) = ((u^2+v^2)^(1/2), u )

Bueno, no sé cómo hacer este ejercicio. Perdón que no lo escriba en latex pero no sé usarlo y no hay tiempo ahora para aprender. Gracias de antemano.

supongo que habras querido decir que g va de R^2 en R^2 no? porq solo pusiste 2 coordenadas ahi =S..

aca las escribi en latex ( podes usar este editor de latex, que te tira la formula en latex, sin necesidad de escribirla: http://thornahawk.unitedti.org/equation ... editor.php) :

No estoy seguro, pero todas esas funciones de cada coordenada son diferenciables en (0,0) por propiedades no? por lo tanto, cada funcion entera es diferenciable y la composicion va a ser diferenciable, no? =S...

La 2da parte despues intento hacerla =)..

Sí, me confundí. No es R3, sino R2.

En la función f(u,v) = ((u^2+v^2)^(1/2), u ), [(u^2+v^2)^(1/2)] no es diferenciable en el (0,0). Bueno, el hecho de que no sea diferenciable es mi traba para seguir con el ejercicio. Auxilio! ¿quién me mandó a hacer esta materia?

no entendi...si sabes que no es diferenciable ya esta, no tenes que hacer mas nada, xq la 2da parte dice "en caso de que sea diferenciable..." (etc etc)..=S..

igualmente nose porq decis q no es diferenciable..?

Si buscás por definición la derivada parcial en u, ves que no existe y, por ende, no es diferenciable. Pero aunque f(u,v) no sea diferenciable, la composición fog puede ser diferenciable en (0,0). Esto lo digo porque estoy viendo el parcial de un amigo. Él había puesto "como f no es diferenciable, fog tampoco lo es" y le corrigieron "es falso, de hecho fog es diferenciable ya que al componer se arregla el problema". El tema es que no le corrigieron nada más, así que estoy perdida.

ah, listo, gracias, no la tenia esa de que fog puede ser diferenciable igual...

supongo entonces, que no tendras otra que hacer la composicion, y mirar si el resultado es diferenciable o no..

creo que la composicion quedaria:

de lo cual te quedaria ver si la 1era coordenada es diferenciable (ya que la 2da ya la habias comprobado antes..)

Cuando la función no es diferenciable, no podés aplicar regla de la cadena.
En este caso se deriva la composición a lo bruto. Es decir:

1)Componés f con g: fog
2)Derivas al composición

1)\(h(x,y)=(fog)(x,y)=f(u,v)=((((x-y)^{2})^{2}+((x-4)^4)^{2})^{\frac{1}{2}};(x-y)^{2})\)
2)Derivas \(h(x,y)\)

Espero se haya entendido.
Siempre queno sea diferenciable regla de la cadena no puede usarse y solo puede derivarse de este modo