Sea f: \({\mathbb{R}}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) una funcion diferenciable, y sea g :\({\mathbb{R}}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
\(g(x,y)= f( {e}^{sin(4\pi{y}^{2}x)}, xy)\) Se sabe que la ecuacion del plano tg al grafico de g en el punto \(( \frac{1}{2}, 1, g(\frac{1}{2}, 1))\) es
\(4x +6y-z= 1\) Hallar \(f(1, \frac{1}{2})\) y \(\triangledown f (1, \frac{1}{2})\)
Defino \(H(x,y)= ( {e}^{sin(4\pi{y}^{2}x)}, xy): {\mathbb{R}}^{2} \rightarrow {\mathbb{R}}^{2}\)
Entonces g(x,y)= \(f \circ H (x,y)\)
Luego por regla de la cadena se que \(Df\circ H = Df( H(x,y)) DH(x,y)\)
Por otro lado me dan el plano tag al grafico de g en el punto \(( \frac{1}{2}, 1, g(\frac{1}{2}, 1))\)
\(z= 4x+6y-1\) que es \(z= g(\frac{1}{2}, 1) + \frac{\partial g}{\partial x}(\frac{1}{2}, 1)(x-\frac{1}{2})+ \frac{\partial g}{\partial y}(\frac{1}{2}, 1)(y-1)\)
Igualando coeficientes llego a que
Se calcula \(H(\frac{1}{2}, 1) = (1, \frac{1}{2})\) y
Remplazo todos los datos que junte en la ecuacion del teo de regla de la cadena:
Despues solo queda despejar las incognitas y obtienen el gradiente de f
bla bla bla calculando \(g(\frac{1}{2}, 1) = f({e}^{sin(4\pi{1}^{2} \frac{1}{2})}, \frac{1}{2}* 1)= f(1,\frac{1}{2})\)
asi que usando g, se calcula f y listo!
Espero que les sirva