Ejercicio 1:
Hallar, si existen, supremo, ínfimo, máximo y mínimo de:
$$A = \{(-1)^n + {16 \over 16n^2-8n+1}\}$$
Ejercicio 2:
Sea
$$f(x) = \begin{cases} \cos(x)xy^4 + a \cdot \sin(x^4) \over {e^{x+y} x^6 + y^4} & \mbox{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{si } (x,y) = (0,0). \end{cases}$$
Estudiar la continuidad de \(f\) en \((0,0)\) para \(a = 0\) y \(a = 1\).
Ejercicio 3:
Sea
$$f(x) = \begin{cases} x^7y^4 \over {x^6 + y^4} & \mbox{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{si } (x,y) = (0,0). \end{cases}$$
Estudiar la diferenciabilidad de \(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\) en (0,0).
Ejercicio 4:
Sea \(f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) una función de clase \(C^2\) y sea \(g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(g(x,y) = f(y+x^2, 2+\sin(x^3+y))\).
Supongamos que el polinomio de Taylor de orden 2 de \(g\) en \((0,0)\) es \(p(x,y) = 4 + y + 3x^2\).
Hallar \(\frac{\partial{f}}{\partial{v}}(0,2)\), donde \(v = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})\).