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[Semi Resuelto]Recu 1er P 19/7/2014 Ej.3

2 respuestas 6955 visitas 2014-07-21

#1 Ranma 2014-07-21 19:55

Hola, pido ayuda para acotar(si es que es diferenciable) el siguiente ejercicio.

f = \begin{cases} \frac{2{(y-1)}^{2} x -3(y-1){x}^{2} +{(y-1)}^{3}}{ {y}^{2} -2y +{x}^{2} +1} \hspace{0.5cm} con (x,y) \neq (0,1) \\ f = 0\hspace{0.5cm} con (x,y) = (0,1)\end{cases}

Derivada de f, respecto de y, en (0,1) = 1 Derivada de f, respecto de x, en (0,1)= 0 Me quedaria probar que el siguiente limite es 0.

| \frac{2{(y-1)}^{2}x -3(y-1){x}^{2}+{(y-1)}^{3}-(y-1)| {||(x, y-1)||}^{2}}{{||(x, y-1)||}^{3}}|

Pero siempre que lo quiero acotar me queda la norma al cubo arriba y abajo tambien, por lo tanto no llego a nada :/ Ideas??? O alguna curva por donde el limite no de cero?? Yo probe varias y no encontre 🙁

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#2 Novato 2014-07-22 00:14

Ranma, lo que te piden en el ejercicio a, de ese recuperatorio, era que saques las derivadas direccionales.

Si acotas eso, no te va a dar, siempre te queda un numero, pero no podes decir que no es diferenciable porque estas tomando algo mas grande que lo anterior.

Pero usando el dato de la parte a, (las derivadas direccionales), sabemos que si f es diferenciable entonces se cumple que la derivada direccional de un vector en el punto es igual al producto interno de el gradiente de f en el punto, y el vector.
Entonces busca algun vector que multiplicado por el gradiente de f, no de su derivada direccional.

#3 Ranma 2014-07-22 19:39

mmm creo que entendi lo que decis!! y de ser asi sos un genio, no sabia que se podia hacer asi! 😄
yo encontre:

v=(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

Aca vale aclarar que V tiene que ser de norma 1 no?, y despues si f es diferenciable, vale que:

\frac{\partial f }{\partial v}(0,1)= < \triangledown f(0,1) , v >

En el item a, como decis, calcule que

\frac{\partial f }{\partial v}(0,1)= \frac{2{v}_{1}{{v}_{2}}^{2}-3{{v}_{1}}^{2}{v}_{2}+{{v}_{2}}^{3}}{{{v}_{1}}^{2}+{v}_{2}}

Asi que con \(v=(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})\) reemplazando en lo anterior:

\frac{\sqrt{3}-4}{4}

pero reemplazando v en \(< \triangledown f(0,1) , v >\) me queda

< (0,1) , (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})> = 0*{v}_{1} + {v}_{2} = \frac{1}{2}

como \(\frac{\sqrt{3}-4}{4} \neq \frac{1}{2} \Rightarrow\) f no es diferenciable en (0,1) 😄

Gracias! y descubri que hay muchos otroa parciales que se resuelven facil con esto!
Suerte para los que rendimos mañana 😄