Ejercicio 1. Sea \(f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\) definida \(f(x,y)=xcos(x)y^{3}\). Hallar, si existen, los puntos críticos de \(f\) y clasificarlos.
Ejercicio 2. Hallar, si existen, los valores máximo y mínimo absolutos de \(f(x,y,z)=(xyz)^{2}\) restringida a \(S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:2x+2y+z=2;x,y,z>0\}\)
Ejercicio 3. Analizar para cada valor real \(p>0\) la convergencia de la integral impropia
Ahora se ve que el denominador se anula en 1 y en i, -i, osea que no hay problema donde esta definida la integral y solo hay que analizar en el infinito, saco factor común \(x^{p+2}\)
converge ya que p > 0 y p+2 > 2 > 1
y como el limite del criterio fue 0, Si \(\int_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{dx}}{x^{p+2}}\) converge \(\Rightarrow\) \(\int_{2}^{+\infty} \frac{e^{-x^{2}}\mathrm{dx}}{(x^{p+2}+x^{p}-x^{2}-1)}\) converge
Eso es lo que yo hice y me lo pusieron como bien. Si necesitas la resolución del 4 decime.
Ufff, muchísimas gracias, creo que no iba a poder darme cuenta de que había que usar ese teorema.
Si podés mostrarme como se resuelve el cuatro te lo agradeceré mucho, entiendo que es haciendo cambio de variable (¿cilíndricas?) pero algunas sutilezas se me escapan áun.
Bueno va el 4, este ejercicio no estoy muy seguro, pero creo que esta bien.
Plantear el volumen de integración era facil, es la parte de adentro de una esfera de radio 2 que se interseca con la parte de adentro de un cono. Con eso en mente vas a usar coordenadas esféricas.
El radio se va a mover en el radio de la esfera osea \(0 < r < 2\) y la coordeanada tita se va a mover entre \(0 < \theta < 2\pi\) Ahora falta fi sobre z, osea el rango en el que se va a mover lo tenes que pensar como si se intersecara un triangulo y una circunferencia (pensando que ves el grafico en y = 0. Proyectando al cono, este se interseca en una circunferencia de radio \(\sqrt{2}\). Ahora tenes la Hipotenusa 2, y la base del triangulo, usando trigonometria ves hasta donde va la variable fi. \(cos(\phi) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) Aplicando arco coseno fi se mueve hasta 45 grados, osea \(0 < \phi < \frac{\pi}{4}\)
Recapitulemos, el volumen de integración queda asi:
$$0 < r < 2$$
$$0 < \theta < 2\pi$$
$$0 < \phi < \frac{\pi}{4}$$
Sabemos que el jacobiano de coordenadas esfericas es
$$J=r^{2}sen(\phi)$$
Entonces aplicando composición con la transformación \(T(r,\theta,\phi)= (r\ cos(\theta)\ sen(\varphi), r\ sen(\theta)\ sen(\varphi), r\ cos(\varphi))\) Sobre mi nuevo volumen que llamo D obtenemos
Ahora argumentando por fubini puedo separar todo en integrales simples es decir de la forma
\((\int_0^2\ r^4 \mathrm{d}r)\ (\int_0^{2\pi}\ \mathrm{d}\theta)\ (\int_0^{\frac{\pi}{4}} cos^2(\phi) sen(\phi)\ \mathrm{d}\phi)\) Acá hay que hacer algo para conseguir la integral sobre fi, que es multiplicar y dividir por -3, ya que la derivada de \(cos(\phi)^3= -3cos(\phi)^2 sen(\phi)\)
EDIT: Lo que sigue en este post está todo mal. Al hacer las coordenadas esféricas estás haciendo todo el helado, junto con el cono. No hay que separar en dos pedazos porque estaría integrando dos veces lo mismo. Además de que creo que está mal hecho lo mío.
No entiendo cómo hiciste el 4. Me parece que hiciste mal por dos razones: primero que la esfera es de radio 1, no 2 (detalle), pero más que nada porque no es sólo una esfera. Es un pedazo de esfera y un cono.
Yo lo primero que hice fue DIBUJAR el espacio. Y me quedó como un helado de cono con una bochita arriba.
Entonces lo que hice fue integrar esas dos regiones por separado. Vos acá integraste todo en coordenadas esféricas, ¿entonces no estás solamente integrando la bochita?
Yo hice así, por si sirve ver otra idea:
Primero determiné a qué altura de z se intersectan el cono y la esfera. No lo escribo acá, porque sólo sale con acomodar las ecuaciones de S. Da que \(z = \frac{1}{\sqrt{2}}\), o sea que el ángulo de la esfera con respecto al eje z va a ser \(\phi = \frac{\pi}{4}\)
Como dije, integro las dos regiones por separado. El pedazo de bocha con coordenadas esféricas, y el cono con coordenadas cilíndricas.
Región cono:
Aquí podemos escribir r en función de z, ya que a medida que aumenta uno, aumenta el otro. Específicamente da que \(z = r\) (esto habría que justificarlo formalmente; seguro sale de las ecuaciones de S.
Llamemos D* a la región sobre la que vamos a aplicar la TL.
$$D* = \lbrace (r,\theta,z) \in \mathbb{R}^3 : 0 \le z \le \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \le \theta < 2\pi, 0 \le r \le z \rbrace$$
Sea \(T(r, \theta, z) = (r cos(\theta), r sen(\theta), z)\)
El jacobiano de T: \(|J(T)| = r\)
$$\iiint\limits_{CONO} z^2 \partial x \partial y \partial z$$
$$= \iiint\limits_{D*} r z^2 \partial r \partial z \partial \theta$$
$$= \iiint\limits_{D*} r z^2 \partial r \partial z \partial \theta$$
$$= \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \int_0^z r z^2 \partial r \partial z \partial \theta$$
$$= \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{r^2}{2} z^2 \bigr|_0^z \partial z \partial \theta$$
$$= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} z^4 \partial z \partial \theta$$
Había sacado el hessiano de f y me daba que era un punto silla, pero es carece de sentido hacer eso ya que f es una función creciente con extremo único en el 0 y entonces es OBVIO que cualquier otro punto es silla.
Pruebo con \(P_{1}=\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},1\right)\Rightarrow\frac{1}{256}<f(P_{0})=\frac{4}{729}\)
Pruebo con \(P_{2}=\left(\frac{4}{9},\frac{4}{9},\frac{3}{9}\right)\rightarrow f(P_{2})=\frac{16*3}{9*9*9}=(\frac{48}{729})^{2}\)
Acá el criterio para creer que es máximo es que la multiplicación más alta de n variables que suman algo se da cuando están cerquita (rigor-less 😛)
El criterio razonable para decir que es máximo es que se puede tomar S compacto (incluyendo el 0) y se ve que los puntos críticos son x,y,z=0 y este que encontramos, entonces el máximo que alcanza en el compacto ha de ser el único que no es mínimo, entonces \(P_0\) es máximo.
Editado con una solución que parece completamente correcta y al menos no presenta incoherencias para mí.
No entiendo cómo hiciste el 4. Me parece que hiciste mal por dos razones: primero que la esfera es de radio 1, no 2 (detalle), pero más que nada porque no es sólo una esfera. Es un pedazo de esfera y un cono.
Yo lo primero que hice fue DIBUJAR el espacio. Y me quedó como un helado de cono con una bochita arriba.
Entonces lo que hice fue integrar esas dos regiones por separado. Vos acá integraste todo en coordenadas esféricas, ¿entonces no estás solamente integrando la bochita?
Yo hice así, por si sirve ver otra idea:
Primero determiné a qué altura de z se intersectan el cono y la esfera. No lo escribo acá, porque sólo sale con acomodar las ecuaciones de S. Da que \(z = \frac{1}{\sqrt{2}}\), o sea que el ángulo de la esfera con respecto al eje z va a ser \(\phi = \frac{\pi}{4}\)
Como dije, integro las dos regiones por separado. El pedazo de bocha con coordenadas esféricas, y el cono con coordenadas cilíndricas.
Región cono:
Aquí podemos escribir r en función de z, ya que a medida que aumenta uno, aumenta el otro. Específicamente da que \(z = r\) (esto habría que justificarlo formalmente; seguro sale de las ecuaciones de S.
Llamemos D* a la región sobre la que vamos a aplicar la TL.
$$D* = \lbrace (r,\theta,z) \in \mathbb{R}^3 : 0 \le z \le \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \le \theta < 2\pi, 0 \le r \le z \rbrace$$
Sea \(T(r, \theta, z) = (r cos(\theta), r sen(\theta), z)\)
El jacobiano de T: \(|J(T)| = r\)
$$\iiint\limits_{CONO} z^2 \partial x \partial y \partial z$$
$$= \iiint\limits_{D*} r z^2 \partial r \partial z \partial \theta$$
$$= \iiint\limits_{D*} r z^2 \partial r \partial z \partial \theta$$
$$= \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \int_0^z r z^2 \partial r \partial z \partial \theta$$
$$= \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{r^2}{2} z^2 \bigr|_0^z \partial z \partial \theta$$
$$= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} z^4 \partial z \partial \theta$$
Puede ser en mi parcial la esfera era <= 4 por eso puse cualquiera, igual no hay mucho que arreglar ,aclaré que era el interior de una esfera intersecado con el interior de un cono (es dificil de ver sin un dibujo) y con esfericas estoy integrando el cono más la bochita, es decir la variable r se mueve hasta el borde de la esfera, tita es la coordenada que "gira" sobre la intersección con el plano (xy) y fi es la que se mueve de z hacia el cono (hay varias formas de plantear la integral), no se si se entiende. A mi igual el ejercicio me salio mal por el rango de integración me confundi e integre sobre el exterior del cono intersecado con la esfera. Pregunté y me dijo que lo demas estaba bien menos eso. A vos te lo corrigieron como bien eso?
Para el ejercicio 2 creo que tenes que plantear algo por las lineas de estoy haciendo lagrange en algo acotado pero no cerrado, entonces me tiro un epsilon un poquito mas chico y ahora estoy en un cerrado y acotado lego por lagrange alcanza maximos y minimos absolutos y como los otros puntos críticos que te da estan sobre la parte no definida no te interesan, no estoy muy seguro.
Me parece que está mal el 2, osea si tomas los planos x,y,z >= 0 te da puntos críticos ahi el gradiente osea que tenes que evaluarlos. Y el ejercicio te pide > solamente. Tampoco hace falta ver la funcion como "multiplicación mas alta de variables" es decir no tenes que analizar la función en si mas que ver que es continua y que esta sobre un compacto, que son las hipotesis de Lagrange, una vez que cumple eso si o si alcanza al menos un maximo y mínimo absoluto y eso lo averiguas evaluando los puntos criticos obtenidos en la función. También no hace falta sacar el Hessiano si te piden solo absolutos con evaluar ya está.
Me parece que está mal el 2, osea si tomas los planos x,y,z >= 0 te da puntos críticos ahi el gradiente osea que tenes que evaluarlos. Y el ejercicio te pide > solamente. Tampoco hace falta ver la funcion como "multiplicación mas alta de variables" es decir no tenes que analizar la función en si mas que ver que es continua y que esta sobre un compacto, que son las hipotesis de Lagrange, una vez que cumple eso si o si alcanza al menos un maximo y mínimo absoluto y eso lo averiguas evaluando los puntos criticos obtenidos en la función. También no hace falta sacar el Hessiano si te piden solo absolutos con evaluar ya está.
Estoy de acuerdo mayoritariamente con lo que decís, habría que evaluar los puntos críticos considerando el 0 y luego f en todos los puntos. El criterio ese que mencioné es la justificación de por qué debería dar algo así como máximo, es algo para orientarse y no una demostración, la demostración (como se dice en el ejercicio) es que el compacto de una función continua alcanza máximos y mínimos, tenemos los mínimos (si hubiera hecho las evaluaciones en 0) entonces el punto crítico que queda es un máximo. Tampoco hace falta el Hessiano, de hecho no sirve para nada, por eso lo quité.
PD: tomar un entorno más pequeño, compacto, sin los 0, suena mucho más feliz, pero lo que planteo debería estar bien también.
Básicamente en ese caso tenes que z>= a un número fijo, que seria el plano que corta ahi, suponiendo casos similares para y o x.
Luego al aplicar esféricas te va a quedar algo del tipo r.cos fi >= K, pasas el coseno para el otro lado y listo. r >= k/cos fi. theta sigue siendo igual de 0 a 2Pi y fi lo tenes que volver a calcular con trig.
Igual gahen ojo que en clase el compacto nunca lo tomaron cerrando los puntos que estaban abiertos, sino que achicaban un poco más la región y ahi lo cerraban y después daban algun argumento para el pedazito de afuera, por eso decia lo de los epsilons.
A mi me parece bastante bien, hay un pequeño error de tipeo (habría que cambiar un "+" por un "*") pero se entiende. Si tenés otra forma de resolverlo o querés explicar mejor por qué pensás que está mal yo puedo seguir mirando.
