Bueno, subo lo que tomaron hoy, solo me salio el 1 y el 4 a, pero tengo dudas, para mi, fue un dolor de orto y agradeceria que alguien se tome la molstia de explicar los trucos de los ejercicios 2 y 3
Sea
$$f(x,y)= \begin{cases}\frac{(y-2x)sin(xy)}{yx^2 +x} & \text{ si } xy\neq -1$ y $ x\neq 0 \ y^2 & \text{ si } x= 0 $ o $ xy=-1 \end{cases}$$
Con \(\alpha , \beta > 3\) analizar la diferenciabilidad en los puntos (1,1) y (2,2)
3)Sea \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) diferenciable en el (-1,1) y sean
\(\alpha (t) = (1-t,t-1)\) y \(\beta (t) = (-t,t^2)\) tal que
i) la funcion se anula en la imagen de \(\alpha\)
ii) \((f\circ \beta) (t) = e^{t^2 +t} - 1\)
Calcular la derivada direccional en el punto (-1,1) en la direccion \(v=(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\)
4)Sea \(f(x,y) = {ln(1 +x^2 +y^2) + x\)
a)Calcular el polinomio de taylor de orden 2 y escribir su expresion del resto de lagrange correspondiente.
b) Utilizando el item anterior calcular:
Ejercicio 2: solo tenes que calcular derivadas por definición. Primero calculas las derivadas parciales y luego te fijas si es diferenciable, tratando de acotar o bien probando que no existe tirando curvas. El caso (1,1) no lo hice, pero no creo que sea difícil. El caso del (2,2) te lo dejo a continuación.
Estudio la diferenciabilidad de la función en el (2,2)
Estudio los limites laterales:
Para \(t>0\): \(\lim_{t \rightarrow {0}^{+}} \frac{f(t+2,2)-f(2,2)}{t}=\lim_{t \rightarrow {0}^{+}} \frac{4}{{e}^{2}} \frac{{t}^{\alpha}}{{t}^{3}}\), y como \(\alpha > 3\) entonces \(\alpha -3>0\) por lo que \(\lim_{t \rightarrow {0}^{+}} \frac{4}{{e}^{2}} \frac{{t}^{\alpha}}{{t}^{3}}=0\)
Para \(t<0\): \({t}^{3}={(-1)}^{3}{(-t)}^{3}\), \(|t|=-t\)
Entonces \(\lim_{t \rightarrow {0}^{-}} \frac{f(t+2,2)-f(2,2)}{t}=\lim_{t \rightarrow {0}^{-}} \frac{4}{{e}^{2}} \frac{{(-t)}^{\alpha}}{(-1){(-t)}^{3}}=0\) pues \(\alpha > 3\)
Por lo tanto, \({f}_{x}(2,2)=0\)
Análogamente se obtiene que \({f}_{y}(2,2)=0\)
Luego, probemos que es diferenciable. Esto es, probar que:
Probemoslo por definicion de limite.
\(\forall \epsilon >0, \exists \delta >0\) tal que \(||(x,y)-(2,2)||<\delta \Rightarrow \, \frac{|f(x,y)|}{||(x,y)-(2,2)||} < \epsilon\)
Tomemos para empezar que \(\delta < 1\), entonces \(|x-2|\leq ||(x,y)-(2,2)| < \delta < 1|\)
Entonces tomo \(0< \delta < \min \{ {(\frac {\epsilon}{2d})}^{\frac{1}{c}}, 1\}\)
Ejercicio 3:
Acá la idea es usar que, como la función es diferenciable en el (-1,1), entonces \({f}_{v}(-1,1)=<\bigtriangledown f(-1,1), v>\)
Luego, escribimos \(\bigtriangledown f(-1,1) = (a,b)\) y utilizamos los datos que nos dan para encontrar los valores de a y b.
Primero, nos dice que \(f\) se anula en la imagen de \(\alpha\), lo que quiere decir que \(fo\alpha=0\)
Como \(\alpha(2)=(-1,1)\), por composición de funciones diferenciables podemos hacer regla de la cadena:
Por lo tanto tenemos que \(\bigtriangledown f(-1,1)=(a,b)=(\frac{3{e}^{2}}{2},\frac{3{e}^{2}}{2})\)
Entonces la derivada direccional correspondiente queda:
\({f}_{v}(-1,1)=<\bigtriangledown f(-1,1), v>=<(\frac{3{e}^{2}}{2},\frac{3{e}^{2}}{2}), (\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})>=0\)
te pido disculpas, estaba seguro que revise bien lo que postie, ahora lo arreglo
yo queria decir que \(\beta(t) =(-t,t^2)\)
Puede q sea por q soy un bruto, pero no me queda seguro por q decis que
te pido disculpas, estaba seguro que revise bien lo que postie, ahora lo arreglo
yo queria decir que \(\beta(t) =(-t,t^2)\)
Puede q sea por q soy un bruto, pero no me queda seguro por q decis que
\(D(f(\alpha(2)) = 0\)
Hola. Ahora edito el post y lo corrijo.
Fijate que primero puse que \(fo\alpha=0\), es decir, que es la función constantemente \(0\) (esto es por hipótesis del ejercicio). Esto quiere decir que su derivada es \(0\) siempre también.
sigo siendo un bruto, vos estas diciendo q por que la funcion da 0 en el punto, entonces va a dar 0 la derivada? o por alguna cosa de regla de la cadena que no me estoy ubicando? o por que el valor no cambia en esa direccion?
Esto es lo que significa que la función se anula en la imagen de \(\alpha\)
O sea, la composición de \(f\) con \(\alpha\) me da la función constantemente nula. Esta función es derivable en todo punto y su derivada es 0 en todo punto, en particular en donde me piden.
como P tiende al valor de F, reemplazas lo de arriba por lo q seria el polinomio de taylor o sea P(en semejanza, agregandole o sacandole terminos (estilo +- x^2 o algo asi))
No hice las cuentas, pero seguro que el límite que te piden calcular es el límite de
\(\frac{f(x,y)-{P}_{2}(x,y)}{||(x,y)||^2}\), o sea, \(\frac{{R}_{2}(x,y)}{||(x,y)||^2}\), que por el teorema de Taylor tiende a \(0\) cuando \((x,y)\) tiende a \((0,0)\).
Si no queda eso exactamente, queda algo parecido y habrá que usar en algún lado lo que puse arriba
Ahh, claro, pero \(P_2(x,y) = x+x^2+y^2\)
y \(g(x,y) = \frac{f(x,y)-x-y^2x}{x^2+y^2}\)
¿O sea que en un entorno del (0,0) \(g(x,y) = \frac{P_2(x,y)-x-y^2x}{x^2+y^2} = \frac{x+x^2+y^2-x-y^2x}{x^2+y^2} = \frac{x^2+y^2-y^2x}{x^2+y^2} = 1- \frac{y^2x}{x^2+y^2} = ?\)
No sé cómo terminarlo! jajaja
igual tu pista me ayudó al menos a ver otros problemas, mil gracias
Necesito ayuda con el 1, no veo cómo intentar ver a dónde tiende si tengo que acercarme a toda una recta.. alguien podría explicarme cómo pensar el ejercicio?
Firma
"If debugging is the process of removing bugs, then programming must be the process of putting them in." -- Dijkstra
Para el ejercicio 4
\(\lim_{(x,y) \to (0,0)}{\frac{xy^2}{x^2+y^2}}= \lim_{(x,y) \to (0,0)}{x*\frac{y^2}{x^2+y^2}} = 0*acotado = 0\)
Luego el limite me quedo 1.
No me sale plantear el ejercicio 1, creo que los puntos donde habría problemas
serían los de la forma \((0,y_0)\) y \((-\frac{1}{y_0},y_0)\). Estaría bien plantear eso?
Si es así, cuando veo el limite tendiendo a \(( -\frac{1}{y_0},y_0)\) siempre me da \(\infty\).
Si, está bien plantear eso. Pero tenés que justificar que pasa con los demás puntos, lo que pasa es que la función que usás para el resto de los puntos es un producto y una división, con denominador distinto de cero, de funciones continuas. Entonces la función es continua. Los únicos puntos que no cumplen ese requisito del denominador distinto de cero son los que vos mencionás.
Después puede ser que te de eso el límite.
Después respondiendo al comentario anterior: Como querés ver continuidad, y sabés cuanto valen los puntos en esa recta, ya tenés un candidato a límite. Entonces resta probar que o es el límite o que no lo es. Si fuera el límite seguramente probandolo por definición salga, porque es medio lo que se evalúa en la materia. Si sospechás que no es continua, entonces proba que el límite no es igual a lo que vale la función. Una forma de hacer eso es elegir un punto genérico de la recta, y me voy acercando por algún lado (acercate con puntos que no estén en la recta, porque en la dirección de la recta ya sabés que f si es continua). Por ejemplo me puedo acercar siguiendo la recta horizontal \((t,y_0)\) (donde t es el que se mueve). Entonces me fijo que pasa cuando t tiende a -1/y0. Y eso es un límite en una variable. Si me dió distinto, listo, la función no es continua, si me dió igual o pruebo de buscar otro camino, o vuelvo a considerar el caso de si era continua.