\(1.\) Sea \(f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}\) de clase \(C^1\) y sea \(g: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
$$g(x,y,z)=f(x^3,\cos (xyz), e^{y^2+z})$$
Sabiendo que \(\nabla f (1,1,1)=(1,-1,1)\) y \(f(1,1,1)=4\), hallar el plano tangente a la superficie de nivel de \(S\) en \((1,0,0)\), donde \(S=\{(x,y,z) : g(x,y,z)=4 \}\).
\(2.\) Sean \(a,b \in \mathbb{R}-\{-1\}\) y sea \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por
$$f(x,y)=a(x^2+y)+b(x+y)+x^2y^2+\frac{1}{8}$$
\(a)\) Hallar el conjunto de los pares ordenados \((a,b)\) para los que \(f\) tiene un punto crítico en \((\frac{1}{2},\frac{1}{2})\).
\(b)\) Para cada \((a,b)\) hallado en el punto \(a)\) estudiar si \((\frac{1}{2},\frac{1}{2})\) se trata de un máximo, un mínimo o un punto silla.
\(3.\) Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia:
El primero no se ni por donde empezar.
El segundo es un poco más fácil. Sacas el gradiente y reemplazas con el valor de (xy) q te da y sacas el par (ab). Te da a=-b-1/4. Sacas la matriz Hessiana en el (1/2;1/2) y su determinante. Te queda (2a+2)*1/2 -1 y dividis en todos los casos posibles.
Si llamás \(h(x,y,z)=({x}^{3},cos(xyz),{e}^{{y}^{2}z}), \, G(x,y,z)=g(x,y,z)-4=f(h(x,y,z))-4\) (para que te quede como en el teorema), entonces la \(G\) te va a quedar \({C}^{1}\). Hacés la regla de la cadena y la evaluás en el \((1,0,0)\). Fijate cuál coordenada no se te anula y con esa aplicás el teorema de la función implícita y suponete que despejaste \(z\) y te da un entorno \(V\) al \((1,0,0)\), un entorno \(U\) del \((1,0)\) y una función \(\phi : U\subset{\mathbb{R}}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) de clase \({C}^{1}\) tal que \(\phi (x,y)=z \, \forall x,y\in U\).
Es claro que \(S\) es una superficie de nivel que vive en \({\mathbb{R}}^{3}\). Para sacar el plano tangente en el \((1,0,0)\) fijate que lo que hiciste fue escribir una variable en función de las otras dos, o sea, que tenés tu función \(\phi : U\subset{\mathbb{R}}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) cuyo gráfico coincide con la curva de nivel \(S\) alrededor de un entorno \(V\) (pues sabés por el teorema que \(G(x,y,\phi (x,y) ) = 0 \, \forall x,y\in U\) y esto es justo el gráfico de la \(\phi\), o sea \(Gr(\phi)\subset S\))
Estas clase de funciones ya las conocés, entonces de ahí sacás el plano tangente en el punto. Es importante recordar que lo que hiciste es reescribir un entorno de tu superficie de nivel \(S\) (en este caso el entorno que te da el teorema es el de \(V\cap S\)) como el gráfico de una función de 2 variables en un entornito \(U\).
Espero no haberte mareado y que te sirva.
Saludos.
PD: fijate que después de hacer todas las cuentas, vas a poder deducir la formulita de plano tangente \(<\nabla G(x,y,z), X-{X}_{0}>=0\) que como no sé si la vieron o no, preferí darte la explicación larga.
La formulita la dieron por el aire, pero es mas facil para resolver el ejercicio. Tengo una sola duda mas, como derivas \(G(x,y,z)?\). Con aplicar el teorema de la funcion implicita decis de reemplazar en la formula explicando el por que, no?
Gracias
Para derivar la \(G\) usás la regla de la cadena: \(DG(x,y,z)=Df(h(x,y,z)).Dh(x,y,z)\). Hacés todas las cuentas y evaluás en el punto que te dieron. Después si explicás bien por qué vale la formulita, la usás y listo.
Para el 3): Separo la integral entre 0 y 1 y 1 e infinito. La primera converge por ser continua en ese intervalo. La segunda no se como hacerla. Alguien la pudo hacer?
Para derivar la \(G\) usás la regla de la cadena: \(DG(x,y,z)=Df(h(x,y,z)).Dh(x,y,z)\). Hacés todas las cuentas y evaluás en el punto que te dieron. Después si explicás bien por qué vale la formulita, la usás y listo.
Saludos.
Tengo una consulta con respecto al \(Dh(x,y,z)\). No tengo la fórmula de h, sino esa especie de expresíon de \(\mathbb{R}^3\)
$$h(x,y,z)=(x^3,\cos (xyz), e^{y^2+z})$$
La diferencial de esa cosa vendría a ser algo así?
luego haciendo el producto con el \((1,-1,1)\) me queda un vector \((3,0,1)\) como resultado de la regla de la cadena... y con eso tengo listo el pollo.
creo que mandé grandes cantidades de fruta... En el larrotonda, cuando explica regla de la cadena en general, hace algo similar pero no me termina de cerrar la idea para estos casos bizarros, por eso pregunto.
Para el 4 no sé si te conviene usar esféricas, porque en una parte te va a quedar \({r}^{2}{sin}^{2}(\phi)\geq 1\) que es bastante feo, entre otras condiciones más. Yo probé con polares para (x,y) y me quedó más lindo (en realidad se llama coordenadas cilíndricas). Fijate como te resulte más cómodo.
Cilindricas es como polares pero z=z , no? Esta bien lo que puse, los valores entre los que se mueven?
inkosoft escribió:
En el 4 usando coordenadas esfericas pongo \(0<r<2 ; 0< \theta < \pi ; 0< \phi < \pi\)?
Si usás esféricas están mal porque fijate que una condición es que \(z\geq 0\), entonces te quedría \(rcos(\phi)\geq 0\), y como \(r>0\), entonces \(cos(\phi)\geq 0\) lo que implica \(0\leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\)
Y las otras dos condiciones serían \({r}^{2}{sin}^{2}(\phi)\geq 1\) y que \(r\leq 2\).
Entonces esta cota sí es siempre positiva desde 1. Comparo con \(g(x) = \frac{1}{x^2}\) que converge entre 1 y +inf. y es siempre positiva.
Hago el cociente reescribiendo \(\frac{x}{x^2(x+cos(x)*x^{-2})}\) con g(x) y hago tender a infinito y eso me da un 1. Luego converge la integral original.