\(1.\) Sea \(A = \{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n} : n \in \mathbb{N} \}\). Analizar la existencia de máx(A), mín(A), ínf(A) y sup(A). En caso de existir, calcularlos justificando debidamente.
\(2.\) Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) la función dada por
Determinar, si existe, el valor de \(a\) para que la función \(f\) resulte continua en el \((0,1)\). Probar que para el \(a\) hallado la función es efectivamente continua.
\(3.\) Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) dada por
\(a)\) Analizar la diferenciabilidad en el \((0,0)\)
\(b)\) Hallar todas las derivadas direccionales en \((0,0)\)
\(4.\) Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) de clase \(C^2\) tal que el polinomio de Taylor de orden \(2\) de \(f\) centrado en \((0,0)\) es
\(P(x,y)=x-y+xy-y^2\).
Hallar el polinimio de Taylor de orden \(2\) de \(g\) centrado en \((0,0)\) siendo \(g(x,y)=f(x^2+y,x+y^2)\).
No subo la resolución porque el examen es casi idéntico al parcial que tomaron ese cuatrimestre (que está acá [Resuelto] 2C 2012 Primer Parcial 06/10/2012)
Si no les sale algo, lean la resolución del parcial, y si sigue sin salirles, pregunten 🙂