Hola!
Acá les dejo otro de los parciales de mi colección. Que lo disfruten. 😄
1)Sea h:R_R una función de clase C1 tal que h(0)=0, \(h '(0)=2\) y sea F:R2_R2 dada por la fórmula \(F(x,y)=h(2x^3+ln(y))-2h(4y^2-x-4)\)
a)Probar que existen un entorno U del 0, un entorno V del 1 y una función \(\phi:V\rightarrow{U}\) derivable tales que:
1)\(F( \phi(y),y)=0\) para todo \(y\in{V}\)
2) Si F(x,y)=0 con \(x\in{U}\) e \(y\in{V}\) entonces \(x= \phi(y)\)
b)Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de \(\phi\) en el punto (1,0)
2)Sea \(f(x,y)=x^3+y^3-3x-3y\). Encontrar los puntos críticos y analizar cuáles son máximos locales, mínimos locales y puntos de ensilladura.
Hallar, si existen, la distancia máxima y la distancia mínima entre el elipsoide de ecuación \(x^2+y^2+2z^2=6\) y el punto P=(4,2,0)
4)a)Calcular \(\int_{}^{} \int_{D}^{} f(x,y)\, dxdy\) con \(D=\left \{ (x,y)\in{\mathbb{R}^2}: 0\le y \le -x; 2 \le x^2+y^2 \le 9\right \}\) y \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)
b)Calcular el volumen de la región encerrada por \(z=1\), \(z=x+y\),\(x=1\),\(x=2\), \(y=-x+1\), \(y=-x+2\)
Alguien sabe como resolver el 1 a. Me podrian dar una mano con ese?
Gracias de antemano
Tiene toda la pinta de implícita. Veamos que se cumplen las hipótesis:
La función \(F(x,y) = h(2{x}^{3}+ln(y))-2h(4{y}^{2}-x-4)\) es de clase \({C}^{1}\) pues es composición de funciones \({C}^{1}\) y está bien definida.
Luego se tiene que el punto en cuestión, el \(P=(0,1)\), anula a la función \(F(x,y)\) pues \(F(0,1)=h(0)-2h(0)=0\). Ahora faltaría ver que la derivada parcial de F con respecto a x no se anula en P, y luego ya podés aplicar el teorema.
Te hago una pregunta mas, porque vengo muy perdido con ese tema, no me doy cuenta como aplicar el teorema de la función implícita. Como es que lo usas =$
Te hago una pregunta mas, porque vengo muy perdido con ese tema, no me doy cuenta como aplicar el teorema de la función implícita. Como es que lo usas =$
Generalmente uno usa implícita cuando tiene algo de la pinta \(F(X)=0\), donde \(X \in {\mathbb{R}}^{n}\). Luego, es condición necesaria que tu funcion F sea de clase \({C}^{1}\), pues necesitás que las derivadas parciales sean continuas para garantizar (la otra hipótesis del teorema) que si elegís un punto P donde \(F(P)=0\) y además hay alguna derivada parcial que no se anula en P, entonces existe un entorno abierto a P donde no se anula y, según el teorema, podés despejar una variable en función de otra (o sea, podés despejar la variable cuya derivada parcial no se anula en P en función de las otras). Después te dice cómo calcular sus derivadas, pero básicamente es eso.
\(F\in C^{1}\)por "estar bien definida y ser composición de funciones continuas"\(\wedge F\left(0,1\right)=0\wedge\frac{\partial f}{\partial x}\left(0,1\right)\neq0\Rightarrow\)
\(\Rightarrow\exists U_{0,\epsilon},V_{1,\delta}/\phi:U\to V/F\left(\phi(y),y\right)=0\forall y\in V\rightarrow lqqd\) por el teorema de la función implícita.
1.2
\(\phi(1)=0\Rightarrow\) Tangente en \(\left(\phi(1),1\right)=\phi'\left(1\right)\left(y-1\right)\)
Por el teorema de la función implicita: \(\phi'\left(1\right)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial x}}\left(\phi'\left(1\right),1\right)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}\left(0,1\right)}{\frac{\partial f}{\partial x}\left(0,1\right)}=-\frac{-32}{4}=8\)
\(\therefore\) Tangente al gráfico de \(\ensuremath{\phi}en }\left(0,1\right):t\left(y\right)=8y-8\)
$$\frac{\left(y-2\right)}{\left(x-5\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\frac{\left(x-5\right)}{\left(x-5\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\frac{y}{x}\Leftrightarrow xy-2x=yx-5y\rightarrow\mbox{Descarto los 0}$$
\(\theta<\pi\wedge\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3\pi}{2}\Rightarrow\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\rightarrow\) Estoy restringido al primer cuadrante
\(y<-x\Rightarrow\sin\theta<-\cos\theta\Leftrightarrow\sin\theta+\cos\theta<0\Leftrightarrow\frac{3\pi}{4}<\theta<\pi\rightarrow\) Lo resuelvo geométricamente