1)Sea F:R2_R2 dada por
$$F(x,y)=(6\ sen{(x)}+y^2,4\cos{(y)}+y)$$
a)Demostrar que existe un entorno \(U\subset\mathbb{R}^2\) tal que \((0,0)\in{U}\), un entorno \(V\subset\mathbb{R}^2\) tal que \((0,4)\in{V}\) y una inversa para F, \(F^{-1}:V\rightarrow{U}\) de clase C1 tal que \(F^{-1}(0,4)=(0,0)\)
b)Sea g:R2_R dada por \(g(x,y)=e^x-\cos{(x)}+3\ sen{(y)}\).Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva dada en forma implícita por \(goF^{-1}(x,y)=0\) en el punto (0,4)
- Sea \(f(x,y)= y^3+3yx^2-15y-12x\) Encontrar puntos críticos y analizar cuáles son máximos locales, mínimos locales y puntos de ensilladura.
3)Seaf:R2_R dada por la fórmula \(f(x,y)=(x-1)^2+y^2-1\)
a)Hallar los extremos locales de f en \(D=\{ (x,y)\in{\mathbb{R}^2}: x^2+y^2<4; x+y>-2 \}\), y analizar la existencia de extremos absolutos en D.
b)Hallar, si existen, los extremos absolutos de f en \(\bar{}\overline{D}\)
- a) Calcular \(\int_D e^{3x-y}(y+2x)^2dxdy\), donde D es la región limitada por as rectas:\(y=3x+2\),\(y=3x-2\), \(y=-2x+7\), \(y=-2x+3\)
b)Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies: \(z=x^2+y^2-4\) y \(z=4-x^2-y^2\)