$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{c} \frac{\cos{(y+x^2)-1}}{(x+y)} \text{ si } y\neq-x \\ \alpha \text{ si } y=-x\\\end{array}\right$$
a)Hallar, si es posible, \(\alpha\in\mathbb{R}\)de manera que f sea contínua en (0,0)
b)Para \(\alpha=0\) determinar si existen las derivadas parciales de f en (0,0)
Sea
$$g(x,y)\left\{ \begin{array}{c} \frac{\ sen{(x^2(y-1))}}{x^2+(y-1)^2}+3(y-1)+2 si (x,y)\neq(0,1) \\2 si (x.y)=(0,1)\\\end{array}\right$$
a)Analizar si g es contínua en (0,1)
b)Hallar todos los \(v\in{\mathbb{R}^2},\left \| v \right \|=1\), para los cuales \(\frac{{\partial g}}{{\partial v}}(0,1)\)exista.
c)Analizar si g es diferenciable en (0,1)
3)f:R2_R de clase C1 y g:R2_R definida por: \(g(x,y)=f(e^x^2e^y+y,sen{(2xy)}\).
Supongamos que el plano tangente al gráfico de f en el punto (1,0,f(1,0)) está dado por \(z-4x+2y=1\)
a)Encontrar la direccion en la que la función z=f(x,y) crece más rápidamente en el punto (1,0)
b)Calcular el plano tangente al gráfico de la función g en el punto (0,0,g(0,0))
4)Sea f:R2_R, C2 tal que \(P(x,y)=2-3(x-2)+y+5(x-2)y-4y^2\) es el polinomio de Taylor de orden 2 de f alrededor del (2,0).Si \(h(x,y)=x^2e^y+f(x,y)(y+1)\), obtener el polinomio de Taylor de orden 2 de h alrededor del (2,0)
Perdón por la falta de LaTeX, hace mucho que no uso y ahora no tengo tiempo (rindo mañana). Les paso mi resolución del primer punto como puedo, espero que se entienda:
Equinoccio escribió:
Sea
$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{c} \frac{\cos{(y+x^2)-1}}{(x+y)} \quad \text{ si } \quad y\neq-x \\ \alpha \qquad \qquad \quad \; \text{ si } \quad y=-x\\\end{array}\right$$
Equinoccio escribió:
a)Hallar, si es posible, \(\alpha\in\mathbb{R}\) de manera que f sea contínua en (0,0)
f cont. en (0,0) \(\Rightarrow\) \(f(0,0)\) = lím. (x,y) \(\rightarrow\) (0,0) de \(f(x,y)\)
Es decir que el valor de la función en el punto debe ser igual al límite cuando la función tiende al punto en cuestión.
(reciclo el LaTeX del post original cuando pueda)
Entonces quiero ver que \(\alpha\in\mathbb{R}\) = lím. (x,y) \(\rightarrow\) (0,0) de \(\frac{\cos{(y+x^2)-1}}{(x+y)}\) que es una indeterminación del tipo \(\frac{0}{0}\)
Intento probar que f no es cont. sabiendo que el lím., de existir, debe ser único.
El otro límite iterado también me da -1 \(\Rightarrow\) Todavía no puedo probar si el límite existe o no (pero de existir, debería ser -1)
Por la recta y=x obtuve una indeterminación del tipo \(\frac{0}{0}\) y luego usando L'Hospital obtengo que el valor del límite es \(0 \neq -1\), pero no estoy seguro si la recta y=x me sirve, así que uso otra por las dudas.
Por las rectas \(y = 2x - 1\) e \(y = - x + 1\) obtengo que el valor del límite es \(\cos(1) - 1\) que es aproximadamente \(-0.4597 \neq -1\)
\(-1 \neq \cos{1} - 1\) \(\Rightarrow\) NO EXISTE el límite (x,y) \(\rightarrow\) (0,0) de f(x,y) .·. NO EXISTE \(\alpha\in\mathbb{R}\) / f sea cont. en (0,0)
Equinoccio escribió:
b)Para \(\alpha=0\) determinar si existen las derivadas parciales de f en (0,0)
= lím. t \(\rightarrow\) 0 \(\frac{- \sin{t} }{2.t} =\) (por L'Hospital de nuevo)
= lím. t \(\rightarrow\) 0 \(\frac{- \cos{t}}{2} = -\frac{1}{2}\)
.·. df/dy (0,0) \(= -\frac{1}{2}\)
Espero que les sirva y avisen sin ven algo que esté mal.
Voy a intentar hacer los demás y los voy posteando, así practico y de paso me corrigen.
Saludos y btw (offtopic), este es mi primer post y tengo para decir que el foro es una masa (lleno de material y gente que colabora, mil gracias) y que lo único que tiene para envidiarle al de la FIUBA (vengo de ahi) es el canal IRC que tienen en dalnet 😛 y el mapita de usuarios
Firma
Vicente Luy escribió:
Si me equivoco contradíganme con amor, porque con amor digo.
Si erro póngame maestros, que luego yo les enseño, porque con amor hago.
Una boludez
\(\left | \frac{sen(x^2(y-1))}{x^2 + (y-1) \leq ^2} \right |\leq \left | \frac{x^2(y-1)}{x^2 + (y-1)^2} \right |\leq \frac{\left \| (x,y-1)) \right \|^3}{\left \| (x,y-1) \right \|^2}\leq \delta\)
Se q es al re pedo y q es una boludez pero prefiero dejarlo para el proximo q quiera saberlo
si, lo habia visto pero no se si esta bien, cuando aplica L'hopital no debería irse tambien el -1? porque no esta multiplicado por ninguna variable, entonces quedaría 0, si podes decirme alguna trayectoria con la que puedo probar que no existe el limite, o avisarme si me equivoque en lo de L'hopital te lo agradeceria mucho 🙂
ehhh, en ese post hay 4 (si, 4) rectas en las que el limite da distinto y si, hay un error en l'hopital pero eso no impide que la demostracion siga andando (usando el valor correcto de l'hopital)