Primer parcial Tema 1. Primer cuat 2010 (15/05/10)

Hola! Acá les dejo el parcial. espero que les sirva.

1. Determinar si la función

2)Dada la función

3. Sea f R2_R2 dada por f(x,y)=(yh(x,y),x-h(x,y)), donde h es una función diferenciable y tal que h(3,1)=2, \(\frac{{\partial h}}{{\partial x}}(3,1)=1\), \(\frac{{\partial h}}{{\partial y}}(3,1)=-1\). Sea gR2_R dada por \(g(x,y)=yx^2-y^2\)
   a)Hallar la ecuación del plano tangente a la gráfica de gof en el punto (3,1,gof(3,1))
   b)Hallar la dirección de mayor crecimiento de gof desde el punto (3,1)

4)Sea \(f(x,y)=\cos{(2x+3y)}\)
a)Calcular el polinomoi de Taylor de orden 2 alrededor del punto (0,0) y escribir la fórmula de Lagrange del residuo
b)Utilizar la fórmula anterior para aproximar f(1/10,-1/30) y estimar el error cometido en la aproximación

Saludos

Equinoccio escribió:

2)Dada la función

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{c} \frac{\ sen{(x^2\cos{(y))}y}}{(x^2+2y^2)(x^2+2)} \qquad si (x,y)\neq(0,0)\\ \qquad \quad 0 \qquad \qquad \; si (x,y)=(0,0)\\\end{array}\right$$

Analizar la continuidad y la diferenciabilidad de f en (0,0) y calcular \(\frac{{\partial f}}{{\partial \breve{v}}}(0,0)\) con \(\breve{v}=(\frac{1}{\sqrt[]{5}},\frac{2}{\sqrt[]{5}})\)

\(\text{Si }f(\vec{x}) \text{es continua en }\vec{P} \Rightarrow f(\vec{P}) = \lim_{\vec{x}\to\vec{P}} f(\vec{x})\)

Los límites iterados me dan ambos 0, con lo cual no sé si el límite existe, pero de existir debe valer 0, ya que el valor del límite es único.

Si valiera 0, además, la función sería continua, ya que \(f(0,0) = 0\).

Mirando de nuevo me doy cuenta que puedo separar la función en un producto ente dos partes, siendo una de estas acotada.

Si logro ver que la otra tiende a 0, podré usar la propiedad que dice que el límite de algo acotado por algo que tiende a 0, es 0.

La función seno está acotada entre -1 y 1.

Por álgebra de límites sé que \(\lim_{ \vec{x} \to \vec{P} }(f.g) = (\lim_{\vec{x}\to\vec{P}} f ) . (\lim_{\vec{x}\to\vec{P}} g )\)

Entonces puedo analizar la segunda parte del límite (la que no es acotada) por separado y luego multiplicar ese límite por el primero.

Uso límites iterados:

\(0 \neq \infty \Rightarrow \not\exists \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y}{(x^2 + 2y^2).(x^2 + 2)} \Rightarrow \not\exists \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \therefore f(x,y) \text{ no es continua en } (0,0) \therefore f(x,y) \text{ no es diferenciable en } (0,0).\)

Busco la derivada direccional de f en la dirección \((\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}})\) evaluada en el origen.

Luego, evaluando en la función, operando, ordenando y simplificando, obtengo:

Uso la regla de L'Hospital: \(\lim_{t \to p} \frac{f(t)}{g(t)} = \frac{0}{0} \Rightarrow \lim_{t \to p} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t \to p} \frac{f'(t)}{g'(t)}\)

(ahora que me fijo capaz también podría haber intentado separar de nuevo la función en un producto con una parte acotada y ver si la otra se iba a 0, pero bueno)

Después de derivar numerador y denominador (cada uno por separado) y operar y simplificar bastante, si no me equivoqué con ninguna cuenta, queda:

Ya que \(\color{red}\lim_{t \to 0} \frac{2 \sqrt{5}}{99} \color{black} = \color{red} \frac{2 \sqrt{5}}{99}\) ,

y \(\color{green}\lim_{t \to 0} (\cos{( \frac{2}{\sqrt{5} }t )} - \frac{1}{\sqrt{5} }t . \sin{( \frac{2}{\sqrt{5} }t )} ) \color{black}= \color{green} 1\)
porque \(\color{green}\lim_{t \to 0} \cos{( \frac{2}{\sqrt{5} }t )} \color{black} = \color{green} \cos{( 0 )} \color{black} = \color{green} 1\)
y \(\color{green} \lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{5} }t . \sin{( \frac{2}{\sqrt{5} }t )} \color{black} = \color{green} 0 . \sin{( 0 )} \color{black} = \color{green} 0\).