Determinar para q valores de \(n \in N\) la función \(f: R^2 \rightarrow R\) resulta continua en (0,0,0)
\(f(x,y,z) = \frac{(cos^2(|x| + |y|) - 1)sen(y^2 + z^2)}{{(x^2 + y^2 + z^2)}^{n/2}})\) si \((x,y,z) \neq 0\)
y \(f(x,y,z) = 0\) si \((x,y,z) = (0,0,0)\)
si el limite existe y es cero cuando \((x,y,z) \rightarrow (0,0,0)\) entonces es 0 para cualquier curva que se acerque al origen
primero intente con x = 0
y me quedó
de donde sale que si n = 2 entonces como \(\frac{sen(f(x,y))}{f(x,y)} = 1\) cuando \((x,y) \rightarrow (0,0)\), \(cos^2(|y|) - 1\) es cero cuando y tiende a 0.
dudo que sea el unico valor, hay alguna forma de encontrar otros valores?
Probando con x=0 lo único que hiciste es ver una dirección. Si justificás con eso solo no es suficiente. De hecho te podría quedar que una dirección determinada valga para todo n que el límite exista y sea 0 y no garantiza de que sea verdad.
Lo que sí podés ver, es que para una dirección determinada, encontrar los valores de n para los cuales no es continua. De esta forma estás descartando caminos que no te sirven.
Por otro lado, probando por definición de límite y acotando llegué a que n podía ser 1 o 2.
Para descartar los otros casos, usé la curva x=0 y supuse que n era mayor que 4, por lo que n/2 es mayor que 2. Haciendo las cuentas me daba que el límite no era 0. Entonces me quedaba probar n=3 y 4. No lo hice pero saldría fácil supongo.