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[No resuelto] 14/05/2011 - sinTema - 1er P

4 respuestas 9266 visitas 2011-07-13

#1 codingTornado 2011-07-13 15:51

Este es el primer parcial que se tomó este cuatrimestre. No pude resolver nada bien y quería ver si me podían ayudar a resolverlo

Sea \(f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por

f(x,y)=\begin{Bmatrix}2(x-1)+\frac{(x-1)y^2}{2(x-1)^2+|x|y^2} & si\; (x,y) \neq (1,0) \\ 0 & si\; (x,y) = (1,0) \end{matrix}

Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de \(f\) en \((1,0)\) [/*:m] 2. Sea \(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por

f(x,y)=\begin{Bmatrix}\frac{x(e^{axy}-1)}{x^2 + y^2} & si\; (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & si\; (x,y) = (0,0) \end{matrix}

Determinar los valores de \(a\) de modo tal que la derivada direccional en \((0,0)\) en la dirección \((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\) sea \(\sqrt{2}\).[/*:m]
Para los valores de \(a\) encontrados en el ítem anterior, hallar \(\nabla f(0,0)\). ¿Es \(f\) diferenciable en \((0,0)\)?[/*:m]

[/:m]
3. Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(|f(x,y)| \leq x^4 + y^2\) para todo \((x,y) \in \mathbb{R}^2\). Probar que \(f\) es diferenciable en el origen y hallar la ecuación de su plano tangente en dicho punto.
[/:m]
4. Sea \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) de clase \(C^2\) tal que su polinomio de Taylor de orden 2 alrededor del \((1,1)\) es

$$P(x,y) = 3+4(x-1)-2(x-1)(y-1)-(y-1)^2$$

Si \(g(x,y) = f(e^x \cos(y-2), \sin(xy)+1) + x^2 \ln(y)\), obtener el polinomio de Taylor de orden 2 de g alrededor del punto \((0,2)\).[/*:m]

Yo voy a ir tratando de resolver lo que encuentre cómo, pero como ya dije no me salió NADA. Si pueden ayudarme con resoluciones lo vamos actualizando para que este completo y bien.

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Me dicen loco, pero somos los locos los que hacemos algo del mundo

#2 codingTornado 2011-07-15 17:24

Resolución para el 1. No se si esta bien, yo creo que si

Para que \(f\) sea diferenciable, \(f\) debe ser continua en \((1,0)\), deben existir sus derivadas parciales y

\lim_{(t_1,t_2) \to (1,0)} \frac{f(t_1,t_2) - f(1,0) - \nabla f(1,0) \cdot (t_1-1,t_2)}{\|(t_1 - 1, t_2)\|} = 0

Verifico que \(f\) es continua en \((1,0)\)
Sea \(\varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \colon \|(x,y) - (1,0)\| < \delta \rightarrow | f(x,y) - 0| < \varepsilon\)

\left| 2(x - 1) + \frac{(x-1)y^2}{2(x-1)^2 + |x| y^2} - 0 \right| \leq 2 |(x - 1)| + \left| \frac{(x-1)y^2}{2(x-1)^2 + |x| y^2}\right| \leq 2 |(x - 1)| + \left| \frac{(x-1)y^2}{2(x-1)^2 + y^2}\right| \leq

2 |(x - 1)| + \frac{|(x-1)y^2|}{2|(x-1)^2 + y^2|} \leq 2 |(x - 1)| + \frac{|(x-1)||y|^2}{2 \| (x-1,y) \|^2}

Por la definición de límite sabemos que \(\| (x-1,y) \| < \delta\), luego como \(|(x-1)| \leq \| (x-1,y) \|\) y \(|y| \leq \| (x-1,y) \|\)

2 |(x - 1)| + \frac{|(x-1)||y^2|}{2 \| (x-1,y) \|} < 2 \delta + \frac{\delta \times \delta^2}{2 \delta^2} = 2 \delta + \frac{\delta}{2} = \frac{5}{2} \delta < \varepsilon

\(\therefore f(x,y)\) es continua en \((1,0)\)

Calculo las derivadas parciales

\partial_x f(1,0) = \lim_{t \rightarrow 1} \frac{f(t,0) - f(1,0)}{t-1} =

\lim_{t \rightarrow 1} \frac{2(t-1)+\frac{(t-1) \times 0^2}{2(t-1)^2 + |t| \times 0^2}}{t-1} = \lim_{t \rightarrow 1} \frac{2(t-1)+0}{t-1} = 2

\partial_y f(1,0) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(1,t) - f(1,0)}{t-0} =

\lim_{t \rightarrow 0} \frac{2(1-1)+\frac{(1-1)t^2}{2(1-1)^2 + |1|t^2}}{t} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{2 \times 0 +\frac{0 \times t^2}{2 \times 0^2 + t^2}}{t} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{0}{t} = 0

\(\therefore \exists\) las derivadas parciales de \(f(x,y)\) en \((1,0)\) y son

\begin{Bmatrix}\partial_x f(1,0) = 2 \ \partial_y f(1,0) = 0\end{matrix}

Como es continua en el punto \((1,0)\) y existen las derivadas parciales para ese punto, entonces \(f(x,y)\) puede ser diferenciable. Estudio la diferenciabilidad en el punto:

\lim_{(t_1,t_2) \to (1,0)} \frac{f(t_1,t_2) - f(1,0) - \nabla f(1,0) \cdot (t_1-1,t_2)}{\|(t_1 - 1, t_2)\|} = 0 \iff \lim_{(t_1,t_2) \to (1,0)} \frac{2(t_1 - 1) + \frac{(t_1-1)t_2^2}{2(t_1-1)^2 + |t_1| t_2^2} - 0 - (2,0) \cdot (t_1-1,t_2)}{\|(t_1 - 1, t_2)\|} = 0 \iff

\lim_{(t_1,t_2) \to (1,0)} \frac{2(t_1 - 1) + \frac{(t_1-1)t_2^2}{2(t_1-1)^2 + |t_1| t_2^2} - 0 - 2(t_1-1)}{\|(t_1 - 1, t_2)\|} = \lim_{(t_1,t_2) \to (1,0)} \frac{\frac{(t_1-1)t_2^2}{2(t_1-1)^2 + |t_1| t_2^2}}{\|(t_1 - 1, t_2)\|} = \lim_{(t_1,t_2) \to (1,0)} \frac{(t_1-1)t_2^2\|(t_1 - 1, t_2)\|}{2(t_1-1)^2 + |t_1| t_2^2} = 0

Por definición, sea \(\varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \colon \|(x,y) - (1,0)\| < \delta \rightarrow \left| \frac{(x-1)y^2\|(x - 1, y)\|}{2(x-1)^2 + |x| y^2} - 0 \right| < \varepsilon\)

\left| \frac{(x-1)y^2\|(x - 1, y)\|}{2(x-1)^2 + |x| y^2} - 0 \right| \leq \frac{|(x-1)y^2\|(x - 1, y)\| |}{|2(x-1)^2 + |x| y^2|}

\|(x - 1, y)\| > 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R} \implies

\frac{|(x-1)y^2\|(x - 1, y)\| |}{|2(x-1)^2 + |x| y^2|} = \frac{|(x-1)||y^2|\|(x - 1, y)\|}{|2(x-1)^2 + |x| y^2|} \leq \frac{|(x-1)||y^2|\|(x - 1, y)\|}{2|(x-1)^2 + y^2|} \leq \frac{|(x-1)||y^2|\|(x - 1, y)\|}{2\|(x - 1, y)\|^2} = \frac{|(x-1)||y^2|}{2\|(x - 1, y)\|}

Por la definición de límite sabemos que \(\| (x-1,y) \| < \delta\), luego como \(|(x-1)| \leq \| (x-1,y) \|\) y \(|y| \leq \| (x-1,y) \|\)

\frac{|(x-1)||y^2|}{2\|(x - 1, y)\|} \leq \frac{\delta \times \delta ^2}{2\delta} = \frac{\delta ^2}{2} < \varepsilon

Luego \(\lim_{(t_1,t_2) \to (1,0)} \frac{(t_1-1)t_2^2\|(t_1 - 1, t_2)\|}{2(t_1-1)^2 + |t_1| t_2^2} = 0\)

\(\therefore f(x,y)\) es diferenciable en \((1,0)\)

#3 Soma 2011-07-17 19:40

A mí no me había salido la primera parte, pero daba no diferenciable y eso lo tenía bien. No tengo el parcial acá pero probá con rectas.

El segundo lo tenía bien resuelto, después cuando tenga el parcial veo si lo puedo escribir acá o lo escaneo.

#4 pepepotamo 2011-10-08 15:33

mm me parece que le pifiaste en algo, en la parte de diferenciable, nose porque le subis la norma al numerador? creo que va en el denominador, y acotando te da 1/2 asi que no es diferenciable

#5 iorellana 2016-09-27 17:13

Hola!, tengo una duda sobre el primer ejercicio y es que estoy probando con el Wolframalpha la funcion en cuestion y me tira que no tiene limite en el numero ese, les paso el link al wolfram, alguien me puede dar una mano? les paso:

[https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+2(x-1](<https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+2(x-1&gt😉)+%2B+((x-1)y%5E2)+%2F+(2(x-1)%5E2+%2B+%7Cx%7Cy%5E2)+as+(x,y)+-%3E+(1,0)

probe mover todo al origen
a = x-1
b = y

y probe con b = raiz(a) y parece dar otra cosa, alguien podra darme una mano? es una duda existencial jaja,