[NO RESUELTO] 03/10/2010 diferenciacion

si eso da cero es diferenciable, sino no

eso era del parcial de ayer no?

a mi me dio que era diferenciable

fijate que la diferenciabilidad ocurre cuando

Luego, el límite que te queda es

Pero si te acercas por la curva \((t;t)\) tenes \(\lim_{t\to0}\frac{2t(e^{t^2}-1)}{(2t^2)^{3/2}}=\)
Simplificando y usando L'hospital (porque tenés 0/0) te queda \(\lim_{t\to0}\frac{e^{t^2}}{\sqrt2}= \frac{1}{\sqrt2} \ne0\)

Con lo cual el límite de la diferenciación no es cero probando que f no es diferenciable en el origen

pana_ir escribió:

fijate que la diferenciabilidad ocurre cuando

$$lim_{(x;y)\to (0;0)} \frac{f(x;y)-f(0;0)-<\nabla f(0;0);(x-0;y-0)>}{\sqrt {(x-0)^2+(y-0)^2}} =0$$

pues me fijo en el origen.

Luego, el límite que te queda es

$$\lim_{(x;y)\to (0;0)} \frac{\frac{(x+y)(e^{xy}-1)}{x^2+y^2}- 0-0x-0y}{(x^2+y^2)^{1/2}} =\lim_{(x;y)\to (0;0)} \frac{(x+y)(e^{xy}-1)}{(x^2+y^2)^{3/2}}=0$$

Pero si te acercas por la curva \((t;t)\) tenes \(\lim_{t\to0}\frac{2t(e^{t^2}-1)}{(2t^2)^{3/2}}=\)
Simplificando y usando L'hospital (porque tenés 0/0) te queda \(\lim_{t\to0}\frac{e^{t^2}}{\sqrt2}= \frac{1}{\sqrt2} \ne0\)

Con lo cual el límite de la diferenciación no es cero probando que f no es diferenciable en el origen

Mmm, pero cuando simplificás \({(2t^2)^{3/2}}\) debería quedarte un \(|t|\) ya que estás aplicando raíz sobre un cuadrado, con lo cual antes de hacer L'hospital deberías plantear los límites laterales, tendiendo a cero por izq y por derecha para poder derivar el módulo descompuesto en los límites laterales, y ahí sí a cada uno le aplicás L'hospital. Es un detalle, pero ojo.

Editado 1 vez.

Yo usé L'Hôpital también y llegué al \(\frac{1}{\sqrt2}\) que me aseguraba no diferenciabilidad. Ahora que veo lo que dice PimientaJade creo que tiene razón. Qué bronca, lpm....

A propósito, ¿alguno sabe cuál es el criterio de aprobación que tienen en esa materia? Por ejemplo, en Álgebra sé que son seis ejercicios y con tres estás adentro. ¿Acá también hay alguna norma fija o es más relativo?

Gracias.

la cosa es que basta ver que el limite de diferenciabilidad no existe o no es cero por alguna trayectoria en particular y como hizo pana_ir esta bien a pesar que el limite da distinto si te acercas por los positivos o negativos. porque en el fondo estas diciendo que en alguna trayectoria en particular el limite no existe lo que implica que la funcion no es diferenciable en ese punto (pues si lo fuera el limite existe y da cero sobre cualquier curva). y respecto a lo de los parciales cuando yo la di te tomaban 5 ejercicios y si hacias dos bien ya aprobabas. pero creo que no podian ser B- tenian que estar bien todo. saludos!

ivoo escribió:

la cosa es que basta ver que el limite de diferenciabilidad no existe o no es cero por alguna trayectoria en particular y como hizo pana_ir esta bien a pesar que el limite da distinto si te acercas por los positivos o negativos. porque en el fondo estas diciendo que en alguna trayectoria en particular el limite no existe lo que implica que la funcion no es diferenciable en ese punto (pues si lo fuera el limite existe y da cero sobre cualquier curva). y respecto a lo de los parciales cuando yo la di te tomaban 5 ejercicios y si hacias dos bien ya aprobabas. pero creo que no podian ser B- tenian que estar bien todo. saludos!

EDIT Perfecto, ya devolvieron los parciales y está bien así. Yo sólo me confundí cuando vine a postear al foro, pero lo había resuelto bien igual.