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[No Resuelto] 16/07/07 Tema2 - Ej 4 - 1er Recu

6 respuestas 7567 visitas 2010-09-29

#1 Pupi 2010-09-29 18:27

Estudiar la continuidad de f en el punto (1,0)

\large f(x,y) \begin{cases}\frac{{(x-1)}^{\frac{4}{3}}y}{{(x-1)}^{2}+{y}^{2}|x|} &si (x,y) \neq (1,0) \\ 0 &si (x,y) = (1,0)\end{cases}

Los limites remplazando y=0 o x=1 dan los dos cero, asi que directamente pase a acotar (esperemos que bien):

\frac{{(x-1)}^{\frac{4}{3}}y}{{(x-1)}^{2}+{y}^{2}|x|} \leq \frac{{|x-1|}^{\frac{4}{3}}|y|}{{|(x-1)}^{2}+{y}^{2}|x||} \leq

\frac{{|x-1|}^{3}|y|}{{|(x-1)}^{2}+{y}^{2}|} \leq \frac{{||(x,y)-(1,0)||}^{4}}{{||(x,y)-(1,0)||}^{2}} \leq

{||(x,y)-(1,0)||}^{2} \rightarrow 0 \,\,\,cuando\,(x,y) \rightarrow (1,0)

Si encuentra algun error, me avisan.
Espero que despues de tanto latex, no haya demasiados 🙂

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Farfalla ! Farfalla Vendetta !

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#2 martinlima 2010-10-01 01:05

Yo lo que hice fue:
Al numerador lo deje como estaba y al denominador lo que hise fue pensar asi:

Tengo | (x-1)^2 + y^2.|x| |

Al tener el primer término al cuadrado y al segundo al cuadrado multiplicado por el módulo de algo me hace pensar que es la suma de 2 cosas positivas.

Como quiero acotar por algo más chico puedo quitar alguno de los dos términos: | (x-1)^2 + y^2.|x| | < (o igua) | x -1 |^2
que es menor que delta al cuadrado.

lo que tengo en el numerador es un producto de |(x-1)^4/3| que es menor que delta^4/3 y |y| que es menor que delta.
acotando lo que tengo es (delta^4/3 . delta)/delta^2 y esto es igual a delta^1/3 y listo. nose si estara bien. lo que planteaste vos tambien me parece coherente. aver si alguien nos da una manito!!

#3 Pupi 2010-10-01 14:16

Según entiendo, mi antigua forma de verlo se cae cuando supones que

\({(x-1)}^{\frac{4}{3}} \leq {(x-1)}^{3}\) porque eso no es cierto cuando X-1 es menor que 1

Si la próxima vez te copas y pones todo en látex, la gente que entre y no entienda mucho la va a pasar mucho mejor 😉
Esta vez te lo paso yo... Al parecer es un buen razonamiento, esperemos que alguien mas venga y opine.

\frac{{|x-1|}^{\frac{4}{3}}|y|}{{|(x-1)}^{2}+{y}^{2}|} \leq \frac{{|x-1|}^{\frac{4}{3}}|y|}{{|(x-1)}^{2}|} \leq

\frac{{\delta}^{\frac{4}{3}}\delta}{{\delta^{2}}} \leq {\delta}^{\frac{1}{3}}

Y ahí si, ya sabes que la función tiende a cero. Creo que esta bien. Esperemos que alguien lo corrija.

#4 Harima 2010-10-01 23:06

Me parece que eso está mal...porque el denominador lo cambias por algo más chico (delta^2) por lo tanto te queda más grande todo el termino

#5 Quimey 2010-10-02 14:41

Me parece que el primer post de Pupi tiene casi todas las acotaciones mal, intenten justificarlas a ver si se dan cuenta porque.

por ejemplo parece ser que afirmas que \((x-1)^{\frac{4}{3}}<(x-1)^3\). Pero esto es falso como se ve por ejemplo para
\(x=1+\frac{1}{8}\) donde queda \(\frac{1}{16}<\frac{1}{512}\).

saludos

Firma

Quimey

#6 Franer 2010-12-09 03:54

No sé si es correcto lo que hice, pero llegué a que era continua plantéandolo de la siguiente forma:

\lim_{(x,y) \rightarrow \(1,0)} \frac{{(x-1)}^{4/3}y}{(x-1)^2+y^2|x|}}

Como \(x \rightarrow\ 1 \Longrightarrow\ |x| \geq\frac{1}{2}\)
y además, como \((x-1)^{2}\geq\frac{1}{2}(x-1)^{2}\)

\(\frac{{(x-1)}^{4/3}y}{(x-1)^2+y^2|x|}}\) \(\leq2\frac{{(x-1)}^{4/3}y}{(x-1)^2+y^2}}\)

lo que me quedó en el denominador es la norma al cuadrado:

2\frac{{(x-1)}^{4/3}y}{(x-1)^2+y^2}} = 2\frac{{(x-1)}^{4/3}y}{||(x-1),y||^{2}}}

y acotando lo de arriba como:

(x-1)}^{4/3}\leq ||(x-1),y||^{4/3}

y\leq ||(x-1),y||

obtengo lo siguiente:

2\frac{{(x-1)}^{4/3}y}{||(x-1),y||^{2}}}\leq2\frac{||(x-1),y||^{4/3}||(x-1),y||}{||(x-1),y||^{2}}} = 2||(x-1),y||^{1/3} \longrightarrow 0

Por lo tanto, es continua.

#7 martinlima 2010-12-09 16:16

hola, una pregunta vos rendis recuperatorio del primer parcial el sabado??