Decidir si f(x,y) es o no diferenciable en (x,y)=(0,2):
$$f(x,y)= \begin{Bmatrix}{\frac{\varrho^{y} x^4+sen((y-2)^2 x)}{1/2(y-2)^2+x^2}&\mbox si&\mbox (x,y)\neq(0,2)\\0 &\mbox si &\mbox (x,y)=(0,2){\end{matrix}$$
Segun calculé:
$$\frac{\delta f}{\delta x} = 0$$
y
$$\frac{\delta f}{\delta y} = 0$$
Luego para saber si es diferenciable tiene que valer
$$\lim{(x,y)\to(0,2)}{ \frac{\varrho^y x^4 + sen((y-2)^2 x)}{(\frac{1}{2} (y-2)^2 + x^2) (||(x,y-2)||)} } = 0$$
Por algunas curvas ve iba a 0, pero despues no puedo demostrarlo.
PD: No se porque \(\varrho^y x^4\) por el editor pareceria que \(\varrho^{y x^4}\).
Yo vi que no lo podía acotar, entonces me tiré a probar que el limite no es cero.
Separé el límite en dos términos, y me quedó:
$$\lim{(x,y)\to(0,2)}{|\frac{\varrho^y x^4}{(\frac{1} {2} (y-2)^2 + x^2)(||x, y-2||)} +\frac{sen ((y-2)^2 x)}{(\frac{1} {2} (y-2)^2 + x^2)(||x, y-2||)}|}$$
El de la izquierda se puede demostrar que da cero, luego veo que le pasa al de la derecha:
$$\lim{(x,y)\to(0,2)}{\frac{sen ((y-2)^2 x)}{(\frac{1} {2} (y-2)^2 + x^2)(||x, y-2||)}} = \lim{(x,y)\to(0,2)}{\frac{sen ((y-2)^2 x)}{(y-2)^2 x}} \ {\frac{(y-2)^2 x}{(\frac{1} {2} (y-2)^2 + x^2)(||x, y-2||)}}$$
Multipliqué y dividí por \((y-2)^2 x\), y como esto tiende a cero, toda la primera parte tiende a uno, por límite conocido de una variable.
$$\lim{(x,y)\to(0,2)}{\frac{(y-2)^2 x}{(\frac{1} {2} (y-2)^2 + x^2)(||x, y-2||)}} = 0$$
Componiendo la funcion con la curva (t, mt + 2) y haciendo tender t a cero, sale.
Por favor si me estoy equivocando (es probable) avisen!
Firma
Nina
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#3 KillSchrodingerCat 2010-05-13 02:08 te queda algo con \(\frac{x}{|x|}\) creo... Tonz no existe...
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Así es, no solo me quedó que no puede ser cero, si no que no existe, porque depende del signo de t y además del m que tome.
#5 KillSchrodingerCat 2010-05-13 12:16 O sea, Super-duper-no-existe no? 😛
Ya con lo del módulo alcanza 😄
Saludos...
