Tema
Estoy preparando el final y me puse a resolver los ejercicios que me tomaron en los parciales (como para desoxidar).
Estos dos ejercicios me los tomaron pero no los pude resolver en su momento y ahora tampoco.
El primero es bastante fácil.
Si no estoy haciendo mal la cuenta, el límite del segundo no existe. Para \(x\) suficientemente chico, podés acercarte al \(0\) por medio de los puntos \((x,2x)\) y en este caso el límite te queda:
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Se me ocurre para demostrar que el segundo límite no existe tomar la recta genérica: \(y=m\cdot{x}\)
\(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sen(mx^{2})}{x^{2}(m-1)}\) Entonces multiplico y divido por \(m\):
\(\frac{xy}{y^{2}-x^{2}}\) IDEM !
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Hola
La resolución propuesta del 1r límite no me parece correcta. a ver si entendí bien lo que quisieron poner es que el límite buscado es menor o igual que un límitqe qe vale 0, por lo tanto el límite buscado es 0. Pero para argumentar esto habría que probar antes qe el límite es mayor o igual qe cero.. sino no es necesariamente cierta la conclusión
A v er...
si uno se acerca por \(x=y-1\) queda....\(\frac{5(y-1)^3}{(|y|+1)(y-1)^2}\rightarrow 0\)
eso no sirve demasiado... al menos por ahora.
como \((x,y)\rightarrow(0,1)\) podemos acercarnos a y de modo que quede siempre positivo así que ....
mmm bueno lo pienso y después posteo... no me sale así de una
suerte
No ale, me faltó poner el módulo, que es lo común para probar límites, ya que no es que la función debe tender al límite exactamente, sino el módulo de la diferencia al mismo debe tender a 0, que es lo que quise hacer (es lo que hice), solo que me olvidé el módulo, que no me cambia nada en este caso, ya que todo está al cuadrado, menos el (y-1) de arriba que ahí si debería estar con módulo, y yo se que eso es menor que la distancia de \((x,y)\) al límite, que es cero en este caso, osea \(\|(x,y)\|\)
en el a) si pedimos \(\delta < \frac{1}{2} \Rightarrow \Vert(x, y-1)\Vert < \delta\) \(\Rightarrow \vert y-1\vert < \Vert(x, y-1)\Vert < \delta < \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow \frac{1}{2} < y < \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{ \vert 5{x}^{2}(y-1) \vert }{\vert y \vert {x}^{2} + {(y-1)}^{2}}\) \(< \frac{ \vert 5{x}^{2}(y-1) \vert }{ \frac{1}{2}{x}^{2} + \frac{1}{2}{(y-1)}^{2}} = \frac{ \vert 10{x}^{2}(y-1) \vert }{{\Vert(x, y-1)\Vert}^{2}}\) y como \(\frac{{x}^{2}}{{\Vert(x, y-1)\Vert}^{2}}\) esta acotado y \((y-1)\) tiende a cero entonces el limite existe y es cero por la propiedad cero por acotado.
en el b) analizamos el siguiente limite \(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{sen (xy)}{xy} \frac{xy}{{y}^{2} - {x}^{2}}\) la primera fraccion da 1 por composicion de funciones. mientras que el limite de la segunda no existe basta acercarse por la curva \(\varphi (t) = (t , \frac{1}{2} t)\) y por la curva \(\alpha (t) = (0 , t)\) dejo las cuentas para el que las quiera hacer, el resultado acercandose por la primera curva el limite da \(- \frac{2}{3}\) y por la segunda curva el limite da cero, entonces el limite no existe.
KillSchrodingerCat escribió:
Se me ocurre para demostrar que el segundo límite no existe tomar la recta genérica: \(y=m\cdot{x}\)
\(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sen(mx^{2})}{x^{2}(m-1)}\) Entonces multiplico y divido por \(m\):
$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sen(mx^{2})}{mx^{2}}\cdot{\frac{m}{m-1}}$$\(\frac{xy}{y^{2}-x^{2}}\) IDEM !
Habría que aclarar que m no puede ser 1 ni -1.
Nina
Rigurosamente quizas si. pero lo importante es que si tomas cualquier m (supongamoslo distinto de 1), el valor del limite tecambia. Por lo tanto no existe. No importa que a 1 "no lo tengas permitido".
