Subo el recuperatorio que tomaron ayer, si alguién tiene tiempo de ir resolviendolo 😉 .
El único que me salio completo fue el 4to, pero no lo subo porque me parece que no vale mucho la pena porque son puras cuentas y además son muchas.
El 1)b) no me salió; y en el 2 me equivoque en una boludez..pero esa boludez hizo que el ejercicio no valiera nada 😕 .
El 3ro no justifique bien con que lo comparaba.
Conclusión: INSUFICIENTE 😢
Si me dan una mano se agradece..
$$\texttrm {1) Sea\; f(x,y)=x^2-2xy^2+y^4. }$$
a) Hallar los extremos relativos de f.
b) Hallar los extremos absolutos de f en la región.
a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 1 de f en el punto (0,0)
b) Usar el plinomio para aproximar el valor f(-0.01;0.02). Estimar el error cometido.
En el primero,\(F(x,y)=(x-y^2)^2\)Que es mayor o igual que cero para todo x,y,por ende los minimos estan a lo largo de\(y=\sqrt{x}\)Lo que habria que buscar es el punto de interseccion con la semicircunsferencia.
\(\Rightarrow\) \(4(2x+1)(x-y^2)=0\) Pero el \(x=-1/2\) No cumple con la restriccion. Entonces tenemos que \(y=\sqrt{x}\) o \(y=-\sqrt{x}\)
Lo metemos en la restriccion (3) y nos quedan \(Pc={(1,1);(1,-1)}\) Y ahora usamos el teorema de los multipliers: Como nuestra restricción D es compacta, pues es cerrada y acotada \(0 \leq x^2+y^2 \leq 2\) Entonces la función alcanza extremo/s absoluto/s en dicho conjunto restrictivo. \(\square\)
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"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Una observaciòn 1ro: el polinomio de taylor de 1r grado es el plano tangente al gráfico de f en el punto de tangeencia.
$$f_x=e^xcosy$$
$$f_y=-e^xseny$$
Ahora, \(f(0,0)=f_x(0,0)=1\) y\(f_y(0,0)=0\) Con lo cual el polinomio es \(P(X,Y)=1+X\)
Para calcular eso te queda: \(P(-0.01,0.02)=1-0.01=0.99\) El error es estimable con el tèrmino del resto, que no me acuerdo bien como es, pero debe ser algo de la forma \(f_{xx}(0)z^2+2f_{xy}(0)zz'+f_{yy}(0)z'^2\) con (z,z') en el entorno de (0,0) que contiene a lo màs al punto (-0.01,0.02). No recuerdo bien si es asì la fòrmula del error, pero pensà en tal caso que, para acotar el error, los senos y cosenos tienen mòdulo menor que uno o igual,asi que no molestan para nada. Y la exponenecial es fácil de acotar pues cerca del 0 anda por el 1, asì que tambièn te pasa lo mismo. Suerte!!
Si despuès e acuerdo de la fòrmula lo termino, igual el polinomio es ese que està ahi.
Supongamos que estamos con \(x\geq 1\) para sacarnos el denominador \(0\). Antes que nada, observamos que \(0<{e}^{-{x}^{2}}<1\) para todo \(x\geq 1\) pues, para estos valores de \(x\), se tiene \(1<e<{e}^{{x}^{2}}\) luego invirtiendo \(1>{e}^{-{x}^{2}}\). Para poder usar los criterios de comparación tenemos que trabajar con funciones positivas. Más en particular, sabemos que si probamos que \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}|f(x)|\) converge(o sea, la integral converge absolutamente), entonces \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(x)\) converge, donde
y al tomar límite cuando \(x\rightarrow +\infty\), el denominador tiende a \(1\), el numerador tiende a \(-1\), luego el límite es \(-(-1)=1\). Como \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\dfrac{1}{{x}^{2}}\) converge, tenemos por el criterio de comparación que \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty}-f(x)\) converge luego \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty}f(x)\) converge.
Quizás le erré en algún signo o algo; cualquier cosa avisá.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
