Mi primer post en el foro xD, subo el ejercicio 1 del ultimo parcial que tomaron.
Tengo el recuperatorio mañana asi que me quedo hasta tarde estudiando, si alguien responde joya. Cuando tenga mas tiempo paso por alumnos a presentarme.
Antes que nada tenes que aclarar que como estas en un compacto sabes que vas a encontrar máximos y mínimos.
Este con multiplicadores puede llegar a ser un cancer, pero si miras atentamente el exponente de \(e^{x^2+y^2}\) vas a sospechar que con un cambio de variables y parametrizando, la cosa puede mejorar.
Pero veamos la restricción que te dan, dice \(||(x,y)||\leq 1\), que es la norma menor o igual a 1, esto es una bola con el borde, pues \(x^2+y^2\leq 1^2\)
Encontrar los puntos en el interior es fácil, es solo ver donde se anula el gradiente que es en (0,0).
Movamonos por la circunferencia, para hacer esto vamos parametrizar:
$$\sigma(t)=(r.cos(t),r.sen(t))$$
Pero el radio es 1, lo reemplazamos en la parametrización.
$$\sigma(t)=(cos(t),sen(t))$$
Ahora componemos la función de la que queremos averiguar máximos y minimos con la parametrización.
Entonces:
Entonces, tus puntos críticos serían: \((0,0);(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2});(-\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2});(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2});(-\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2})\)
Para evaluar los puntos del tipo \((\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2})\) usa la composición.
Finalmente creo que el (0,0) no es ni máximo ni mínimo y los puntos de la circunferencia que tienen signos alternados son mínimos y los que tienen el mismo signo son máximos.
Evalualos pero hay 2 máximos y 2 mínimos.
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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...