3-Sea \(g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) definida por \(g(x,y) = (y \cos(x-1) , x+y)\). Sea \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) una función diferenciable en el punto (0,1) tal que la ecuación del plano tangente de \(fog\) en el punto (1,0) es \(z= 1 + x - y\)
Calcular \(\frac{\partial f}{\partial v}(0,1)\), donde \(v=(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2})\)
4-Sea \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\) diferenciable en \(\mathbb{R}^2 -\{(0,0)\}\) tal que \(<\triangledown f(x,y),(x,y)>=0\) para todo \((x,y)\ne(0,0)\). Probar que si \(f\) es continua en \((0,0)\) entonces \(f\) es una función constante en todo el plano.
Sugerencia: Considerar \(g(t)=f(tx,ty)\).
5-Dada \(\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) de clase \(C^1\) tal que \(\phi'(0)=4\) definimos \(F:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) como
$$F(x,y)=\phi(3x+4y-7)-\phi(4x^2+3y-7)$$
i) Demostrar que \(F(x,y)=0\) define una función implícita \(y(x)\) en un entorno de (1,1)
ii) Calcular a recta tangente a \(y(x) &\textrm{ en }x=1\)
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"if people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicate life is"
Ahora posteo las respuestas (las que me salieron).
Increíblemente facil. Me levanté y le pregunte al flaco si había un error de tipeo o algo porque había salido demasiado facil.
En todas partes que no sean (0, 0), te quedan dos continuas (compuestas), donde el denominador no se anula. Entonces es continua. En el (0, 0), hay que analizar aparte.
Si tomás la curva \(y=x\), te queda:
Pero el plano tangente al gráfico de (f o g) en (1, 0) tiene la forma \(z = (f \circ g)(1, 0) + (f \circ g)_{x}(x-1) + (f \circ g)_{y}(y)\)
Entonces tengo
Entonces \(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(1, 1) \ne 0\).
También se que, dada \(S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : F(x,y) = 0\}, P = (1, 1) \in S.\)
Como F es \(C^1\), entonces puedo usar el Teorema de la Función Implícita.
Este me dice que existe \(\varphi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), tal que para B una bola abierta al rededor de (1, 1), \(S \cap B = gr\'afico(\varphi)\).
Osea, cuando \(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(1, 1)\) no se anula, puedo despejar \(y = \varphi(x)\) en este entornito.
El 4 lo..."hice". Osea, era claro que es cierto, pero la verdad fué bastante chamuyo lo mío, así que prefiero no postearlo para no avergonzarme/confundir más.
El 2 no lo hice bien. Claramente me llevo mejor con los problemas impares.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Me parece que la resolución del ejercicio 1 tiene un pequeño error. Porque si tenés \(\frac{x}{x^2}\), al simplificar te queda \(\frac{1}{|x|}\) que no es derivable, por lo que no podés aplicar L'H.
Lo que yo hice ahí fue dividir al límite en dos: \(\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}\) y \(\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{-x}\). Ahí sí se puede aplicar L'H. Ambos dan distinto de cero, así que con calcular uno de los dos alcanza para demostrar que no es contínua en el orígen.
Como dijo TuSan: "Puede fallar", pero creo que así está bien.
Saludos y suerte en el parcial de hoy
es verdad lo que dice KillSchrodingerCat me parece que tu resolucion esta errada. ademas \(\frac{x}{x^2}\) puede ser tanto positivo o negativo dependiendo del signo de \(x\) mientras que \(\frac{1}{|x|}\) es siempre positivo.
