Esto es lo que se me ocurrio que yo hubiese hecho, despues de darle una leida al final (no lo intente hacer). Corrijanme si digo burradas, plis.
Hubiese calculado las derivadas parciales de b), y ver que coinciden con a). Integraria a) en la variable respectiva y veria que la funcion que queda es b) (algo habria que justificar).
Como D es cerrado y acotado (compacto), por el teorema f alcanza un maximo y minimo absoluto. Yo encararia por ahi la cosa, tendria que ver como seguirla y terminarla :b.
Usando algo del teorema del cambio de variables, calculando el jacobiano e integrando la funcion 1, intentaria llegar a que las areas son iguales.
Calcularia el polinomio de Taylor como siempre, teniendo cuidado y teniendo en cuenta que alrededor del (0,0), el grad f = grad P, el hessiano es tambien igual, etc.
No me sente a hacer el final, pero supongo que se me hubiese ocurrido ahcer algo como lo que dije antes.
Hola. Con respecto a tus propuestas tengo las siguientes observaciones:
Cuando integras la primera componente con respecto a \(x\) obtendrías algo de la forma \(xy+h(y)\). De modo tal que en realidad nos podremos desarrollar una ecuación diferencial. Pero este hecho excede al curso de análisis I. Fijate que uno de los datos es que la función es \(C^3\) ¿cómo lo usarías?
Más allá de ser un conjunto compacto, otro dato importante y que hay que utilizar es que es conexo (en particular, convexo).
Con respecto a los puntos (3) y (4), sin ninguna explicación adicional no hay mucho que decir. Igualmente, en el tercero, por ejemplo ¿qué pasa si dejamos \(x\) fijo y movemos \(y\)? Los intervalos de una longitud se convierten en intervalos de la mismo longitud ¿verdad? Una vez visto que \(T\) efectivamente es un difeomorfismo, uno podría hacer uno que lo "anule", al menos la parte de \(\varphi(x)\). (Quedo acá pues me tengo que ir.)
En el 1) yo no digo que esté mal hacerlo de esa forma, señalo que no es lo que corresponde para la materia. Nada más.
En el 2) fíjate en el siguiente ejemplo:
\(f:[0,1]\times{}[0,1]\cup [2,3]\times{}[2,3]\to R,\,\,f(x,y)=x\). La imagen no es un intervalo cerrado, sin embargo es \(C^0\) y definida en un compacto.
en el 1) podes hacerlo asi sin ecuaciones diferenciales, seria solo integrar funciones de una variable. pero ahi tendrias que justificar que g(y) es cte. y no depende de y, y lo mismo con la funcion que te quede cuando integres la derivada con respecto a y. si justificas eso si se puede hacer asi
El 1) no me termina de cerrar. 😳
alguien puede ayudarme, (orientarme en realidad) a probar q a)\($ \Longrightarrow$ b)\)
usando que es \($c^{3}$\)
también necesito ayuda con el 3)
muchas gracias!!
Firma
"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".
Después de mucho pensar se me ocurrió algo para el 3) me gustaría que alguien de una miradita y me diga que voy encaminada:
yo quiero ver que:
$$A(D) = \int \int_{D}^{ }1 da = \int \int_{T(D)}^{ }1 da = A(T(D))$$
Elijo T de manera que \(T:D ^*\subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow D \subset \mathbb{R}^2\)
Como \(T(x,y)= ( \phi+y,x)\) veamos que es biyectiva. Si lo es entonces el jecobiano de T es distinto de cero...
Después de mucho pensar se me ocurrió algo para el 3) me gustaría que alguien de una miradita y me diga que voy encaminada:
yo quiero ver que:
$$$A(D) = \int \int_{D}^{ }1 da = \int \int_{T(D)}^{ }1 da = A(T(D))$ Elijo T de manera que $T:D ^*\subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow D \subset \mathbb{R}^2$ Como $T(x,y)= ( \phi+y,x)$ veamos que es biyectiva. Si lo es entonces el jecobiano de T es distinto de cero... $J(x,y)= \begin{vmatrix} \phi´ & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ Entonces es biyectiva. Entoces hago un cambio de variables, siendo $D^*= T(D)$ Quedandome la siguiente igualdad: $A(D) = \int \int_{D}^{ }1 da = \int \int_{D^*}^{ }1 da= \int \int_{T(D)}^{ }1 da$ que es lo que quería probar.$$
PD:por qué me quedan esos símbolos extraños cuando abro o cierro con $?
el 3 creo que esta bien. aca pongo el 1 con un poco mas de detalle.
para probar que a) implica b) primero agarras alguna de las derivadas, por ejemplo \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\) y la integras, entonces la primitiva seria \(f(x,y)=xy+\phi(y)\) te queda \(\phi(y)\) y no una constante porque estas integrando respecto de x y la "constante" de integracion podría depender de y ya que se anularia igual al tomar la derivada parcial. entonces tomas la expresion esa para \(f\) y la derivas respecto de y: \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x+\phi ' (y)\) y eso sabes que tiene que ser igual a \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\) entonces te queda que \(x+\phi ' (y)=x \Rightarrow \phi ' (y)=0\) y como \(\phi ' (y)=0 \Rightarrow \phi (y)=C\)(cte.) y concluis que \(f(x,y)=xy+C\). Aca cuando digo integrar la derivada parcial lo que digo es tomar la derivada parcial como la derivada de la funcion de una variable \(g(x)=f(x,y_{0})\) con \(y_{0}\) constante, entonces \(g'=y_{0}\). Aca no use que fuera \(C^3\).
Otra forma de hacerlo sería viendo el desarrollo de Taylor alrededor de algun punto, por ejemplo el origen. Fijate que vale :\(f_{x}(0,0)=0,f_{y}(0,0)=0,f_{xx}(0,0)=0,f_{yy}(0,0)=0,f_{xy}(0,0)=1\).si haces el desarrollo de taylor de orden 2 (derivas de nuevo los datos) te queda \(f(x,y)=f(0,0)+xy+R(x,y)\) donde \(R(x,y)\) es el resto. Pero el resto puede escribirse como el termino de taylor de orden 3 en algun punto entre el origen y \((x,y)\), pero si sacas las derivadas terceras son todas nulas en todos los puntos entonces \(R(x,y)=0\) y remplazando en el polinomio de taylor te queda \(f(x,y)=f(0,0)+xy\) y \(f(0,0)=cte\) y es la constante que apraece en la expresion b). no me acuerdo bien lo que pide el teorema pero supongo que usas que es \(C^3\)para decir que es analitica la funcion y que vale la expresion del resto y eso.
Para el 2, no podria hacer lo siguiente? :
Tomo \(Y_{n}\) una sucesion de puntos incluida en la imagen de f.
Entonces existe \(x_{n}\) tq \(F(x_{n}) = Y_{n}\) , luego \(x_{n}\)esta incluida en D, por lo tanto es acotada. Entonces existe una subsucecion \(X_{n_{j}}\) convergente y supongamos que converge a\(x_{0}.\)
Como f es continua tengo:
$$F(x_{0}) = lim X_{n_{j}} = lim Y_{n_{j}}$$
Luego queda demostrado, pues \(F(x_{0})\) pertenece a F(D), pues \(X_{0}\) pertenece a D.
Después de mucho pensar se me ocurrió algo para el 3) me gustaría que alguien de una miradita y me diga que voy encaminada:
yo quiero ver que:
$$A(D) = \int \int_{D}^{ }1 da = \int \int_{T(D)}^{ }1 da = A(T(D))$$
Elijo T de manera que \(T:D ^*\subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow D \subset \mathbb{R}^2\)
Como \(T(x,y)= ( \phi+y,x)\) veamos que es biyectiva. Si lo es entonces el jecobiano de T es distinto de cero...
Lo que vos decís Diego solo te prueba que la imagen es cerrada, no que es un intervalo cerrado. Para probar que es cerrado \(f(D)\) hay que usar que \(D\) es conexo(sino es falso). De cualquier forma:
Como \(D\) es compacto, resulta que \(f\) alcanza máximos y mínimos absolutos. Sean \(M,m\) tales valores y por lo tanto \(m\eq=f(a),M\eq=f(b)\). Queremos ver que si \(m\leq y\leq M\) entonces \(y\eq=f(c)\) para algún \(x\in D\). Ahora, si \(m\eq=M\) no hay qué probar(la función es constante). Consideramos entonces \(m\neq M\). Como \(D\) es convexo y la función \(f\) es continua vale el teorema de Bolzano; en este caso nos dice que existe \(c\) en el segmento que une los puntos \(a\) y \(b\) tal que \(f(c)\eq=y\), lo que termina de probar el resultado.
Con respecto al otro ejercicio, está multiplicado por el módulo del jacobiano. Igual hay que ver que si el jacobiano es no nulo entonces es localmente biyectiva(con la condición de \(\mathcal{C}^{1}\)), pero eso no quiere decir que sea globalmente biyectiva. Ahora, se observa que:
De acá se deduce \(x\eq=x'\) luego \(\phi(x)+y'\eq=\phi(x)+y\implies y'\eq=y\) teniéndose que \(T\) es inyectiva. Luego \(T:D\rightarrow T(D)\) es una biyección. Por otro lado \({T}^{-1}(x,y)\eq=(y,y-\phi(x))\) es su inversa y no es difícil de ver que es \(\mathcal{C}^{1}\), lo que dice que \(T\) está en las condiciones del teorema de cambio de variable... y sigue la cuenta que planteó Aye.
PD: recién miré, y \(\phi\) debería ser \(\mathcal{C}^{1}\), para que valga el teo de cambio de variable. Si recuerdo bien, se pedía que la aplicación \(T\) fuera \(\mathcal{C}^{1}\) con inversa también \(\mathcal{C}^{1}\)....
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Con permiso, acabo de ver esta discusión y me registre para hacer un pequeño comentario:
Con respecto al ejercicio 1, a mí, se me ocurrió otra cosa:
Probar que b) implica a) es fácil sólo hay que derivar. Para ver que a) implica b), bueno, el enunciado dice que la \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y \ , \ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x \ \ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2\), es decir, que el gradiente es \(\nabla f (x,y) = (y,x)\), implica que la función \(f(x,y)= xy + c\). Ahora por probar \(b) \Rightarrow a)\) sabemos que que la función f(x,y)= xy tiene gradiente \(\nabla f(x,y) = (y,x)\). Por lo tanto conocemos una función con ese gradiente. Supongamos que existe otra que tiene el mismo gradiente para todos los puntos. Luego, una corolario del teorema de Lagrange, dice que si dos funciones tiene el mismo gradiente para todo sus puntos entonces esas funciones sólo difieren en una constante. Eso quiere decir que, como sabemos que f(x,y) tiene gradiente \(\nabla f(x,y) = (y,x)\) cualquier otra función g(x,y) con ese mismo gradiente para todos sus puntos es va a ser de la forma g(x,y)= f(x,y) + c = xy + c, que es justo lo que queríamos probar.
Perdonen mi tex si es menos que rudimentario. Me pareció más sencillo porque no hay que andar integrando ni nada de eso. Qué sé yo.
Saludos,
No objeto tus preferencias pero quisiera hacer una observación con respecto a lo que decís de "zafar". No me parece que el Corolario de Lagrange entre "de carambola" en la resolución del problema. Me parece que depende de cómo lo encares. Por ejemplo, si lo pensás como hicieron los chicos (o lo que creo yo que pensaron) algo de la forma de: me dan esta función y esta diferencial y demuestro que que de al función voy a la diferencial y de la diferencial a la función, voy y vuelvo. Luego, llegás a la resolución que dieron ellos. Como yo lo vi de otro modo llegue a otra solución. Fijate que vos podés pensar el corolario de Lagrange como una herramienta que te da "una solución del homogeneo" a la pregunta de a este gradiente qué funciones le corresponden. Es decir, más que el hecho de que partiendo de tal gradiente en particular se llega a tal función en particular, yo lo pienso como "tengo este gradiente (de hecho, el gradiente que sea, es casi anecdótico) y me tengo que fijar si deriva de estas y sólo estas funciones". Es decir, en tal casos estarías pensando que que te centras en probar que ese tipo en particular son las funciones que te dan ese gradiente y no te podés encontrar con que una función super loca también deriva en ese gradiente. A mi parecer, insisto, resulta natural usar el corolario si lo encaras de eses modo. (Por supuesto, no es que uno modo invalide al otro, de ningún modo)
Tal vez te siga pareciendo arbitrario. En tal caso, no tengo nada que agregar. Sólo quería aclara mi punto de vista.
Saludos,
Osea basicamente zafas por el Corolario de Lagrange. Igual creo que seria mas demostrativo lo que hizo Joaquin.
A mi me parece barbara la resolución de Alejo, osea va mucho más a donde apunta el problema que integrar las parciales o usar Taylor. Es más, el ejercicio parece hecho para aplicar ese corolario de Lagrange, siendo que hay un ejercicio igual en la practica, no?
En realidad yo le pregunte despues de que lo tomo al profesor que hizo el examen y me dijo que la idea era usar lo de lagrange, postie las otras dos formas de hacerlo porque aunque sean mas largas o rebuscadas, la ventaja que tienen es que son procedimientos que sirven aun sin que se te ocurra ninguna funcion con ese gradiente, cosa que suele pasar en ejercicios de campos conservativos de analisis 2 por ejemplo. pero si, para este problema en particular la solucion con lagrange es la mas directa
ps: me refiero a la solucion integrando, la solucion con taylor la desventaja que tiene es que por un lado, tenes que rezar para que se te anulen las derivadas en algun momento, y por otro tenes que pedirle a la funcion que sea analitica, cosa que no tiene porque pasar, la solucion con lagrange y la de integrar le piden menos a la funcion
Me gustaría que alguien me diga si está bien esta demostración del 1:
Considero \(g(x,y) = f(x,y)-xy\). Entonces como f es \(C^1\) y \(xy\) también, \(g\) es también \(C^1\) y por ende diferencible. Es fácil ver que las dos derivadas parciales de \(g\) se anulan en todo \(\mathbb{R}^2\) entonces todas las derivadas direccionales son nulas. Supongamos que \(g\) no es constante, entonces existen \(p_1,p_2 \in\mathbb{R}^2\) tales que \(g(p1) \neq g(p2)\), entonces por el Teorema del Valor Medio de Lagrange existe \(p_3\) en el segmento que une a \(p1\) y \(p2\) tal que \(|\frac{\partial g}{\partial v} (p_3)| = \frac{|g(p_2)-g(p_1)|}{||p_2-p_1||}\) donde \(v = p2 - p1\) normalizado, pero como todas las derivadas de \(g\) son nulas en todo \(\mathbb{R}^2\) entonces nos queda que \(|g(p_2)-g(p_1)| = 0\) y por lo tanto \(g\) es constante y por lo tanto \(f = xy + c\), la otra implicación es trivial ya que sale de derivar.
Quisiera saber:
a) En caso de que esté mal lo que hice: ¿Dónde falla mi demostración?
b) En caso de que esté bien: ¿Porqué no uso que es \(C^3\)?