[No resuelto] 1º cuatrimestre 2008

Ejercio de Final 1ro cuatrimestre del 2008

Buenas, esta es la primera vez que posteo en este foro, les pido disculpas, todavía no he aprendido a usar el Tex, por lo que intenté escribirlo como pude.

A continuación paso un ejercicio de final,

Sea F: R2 a R de clase C2 talque el polinomio de Taylor de orden 2 de F(0,0) es

P(x,y) = 3 - 2x + 4y +2x2 + 4xy + 3y2

Y sea G(x,y) = F(x + ey – 1; sen(x) + 2ey – 2)

Hallar Gxx(0,0) y Gyx(0,0)

La consulta es la siguiente,

Llamo G(x,y) = F(U(x,y),V(x,y)) donde U(x,y) = x + ey – 1 // V(x,y) = sen(x) + 2ey – 2

Sé que Gx(x,y) = FU(x,y).Ux(x,y) + FV(x,y).Vx(x,y) => Gx(x,y) = FU(x,y).1 + FV(x,y).cos(x)

La pregunta es la siguiente, al calcular Gxx(x,y) se hace:

Gxx(x,y) = [FUU(x,y).1 + FUV(x,y).cos(x)] + [-sen(x). FV(x,y) + cos(x). FVU(x,y).1 + cos2(x). FVV(x,y)]

O se plantea lo siguiente:

Gxx(x,y) = FUU(x,y).1 + FUV(x,y).cos(x) - sen(x). FVV(x,y)

Posiblemente, lo que planteo es una trivialidad, pero estoy bastante confundido.

Muchas gracias desde ya, a todos

Una pequeña correción!!!

U(x,y) = x + ey – 1 // V(x,y) = sen(x) + 2ey – 2

es: U(x,y) = x + (e^y) – 1 // V(x,y) = sen(x) + 2(e^y) – 2

Mil disculpas!!

Tenés \(G(x,y)\eq=F(x+{e}^{y}-1,\sin x+2{e}^{y}-2)\). Para calcular las derivadas parciales, tenés que aplicar la regla de la cadena, como en una parte escribiste.
Lamentablemente, la forma de calcular \({G}_{xx}\) es cuentosa; derivás miembro a miembro, aplicando las reglas de la derivación, pero con el cuidado que cuando derives respecto de \(x\) cada producto, y particularmente(por la regla del producto) \({F}_{x}(U(x,y)),\;{F}_{y}(U(x,y))\), tenés que volver a aplicar regla de la cadena, como \(H\eq={{F}_{x}}_{o}U(x,y),\;R\eq={{F}_{y}}_{o}U(x,y)\). La cuenta es horrible(esto tan solo para calcular la derivada parcial que querés, \({H}_{x},{R}_{x}\)). Fijate si con esto aclaré. Saludos.

Millones de gracias!!