[No Resuelto] 12/12/03

Salteo el problema I ya que no entraría en el plan actual de la materia.

Problema II:

a) Pruebe que existe un rectángulo J = { (x,y) perteneciente a \(R^2 / |x-1|< r, |y-1|< r }\) y una única función diferenciable f definida en J tal que:
i) \(f(1,1) = 1\)
ii) Para todo (x,y) perteneciente a J se verifica que \((f(x,y)^3 -x(f(x,y))^2 + yf(x,y) - 1 = 0\)
b) Calcule las derivadas parciales de\(f en (1,1)\)

Problema III:

Considere \(R^3\) el plano P de ecuación \(z = 3^1^/^2\) y Q el gráfico de la función f(x,y) = sen(x)sen(y)sen(π - x - y), definida para 0≤x≤π, 0≤y≤π

Calcule d = [ ||p-q|| / p pertenece a P, q pertenece a Q]

Del II no tengo idea cómo probar la existencia de J.

Del III yo pensé p = (x,y,\(3^1^/^2\)) y q = (x,y,f(x,y))
Luego planteé ||p-q|| = ||\(3^1^/^2\)-f(x,y)|| y quise intentar sacar máximos y mínimos de la función g = ||p-q|| para poder averiguar el ínfimo pero es un bardo...

¿Alguna idea?

Buenas, yo alcancé a plantear lo siguiente:

Tomo \((f(x,y)^3) -x(f(x,y)^2) + yf(x,y) - 1= 0\) y llamo a \(f(x,y) = z\). Luego, tomo la función:

\(G(x,y,z)=(z^3) -x(z^2) + yz - 1\) --> \(G(1,1,1) =1\)

Ahora calculo la derivada de \(G(x,y,z)\) con respecto a \(z\):

\({G}_{z}(x,y,z)= 3(z^2) -2xz + y\) --> \({G}_{z}(1,1,1) \neq 0\)

Entonces podemos aplicar el teorema de la funcion implicita,

\(\exists U\) (entorno abierto) de \(({x}_{0},{y}_{0}) = (1,1)\) y \(\exists V\) (entorno abierto) de \({z}_{0} = 1\) y \(\exists !\) función \(z(x,y) U --> V\) de clase \(C^1\) tal que:

\({z}_{x}(x,y)\) = \(-({{G}_{x}(x,y,z(x,y)}\over {{G}_{z}(x,y,z(x,y)}\)

Y \({z}_{y}(x,y)\) = \(-({{G}_{y}(x,y,z(x,y)}\over {{G}_{z}(x,y,z(x,y)}\)

Pero \(z(x,y) = f(x,y)\) => probé que \(f(x,y)\) es \(C^1\) que vale 1 en el (1,1) y sus derviadas parciales son:

\({f}_{x}(1,1)\) = \(({{G}_{x}(1,1,z(1,1)}\over {{G}_{z}(1,1,z(1,1)}\)

Y \({f}_{y}(1,1)\) = \(({{G}_{y}(1,1,z(1,1)}\over {{G}_{z}(1,1,z(1,1)}\)

(La verdad, no tengo ganas de hacer las cuentas para las derivadas... Pero la idea está)

Ahora, no tengo ni la menor idea ( ❓ ) de como llego con esto a probar J

¿Alguna idea? ❓

Espero que sirva lo poco que hice!

Saludos

Hola! A mi se me ocurrio comprobarlo por definicion: Es decir, mostrar que en ese rectangulo J, \(f\) es diferenciable..
Fijate que dice: \(|x-1|<r\) e \(|y-1|<r\)
Y digo, siendo \(x-1=h_{1}\) y \(y-1=h_{2}\)
Por lo tanto \(|h_{1}|<r\) y \(|h_{2}|<r\)
Y digo que dado un\(\epsilon>0$ \exists$ \delta>0 \tq:\) con \(\delta=r\)
Me queda que:

\(0<||(h_{1},h_{2})||<r\) pasa porque \(||(h_{1},h_{2})|| = \sqrt{{h_{1}}^2+{h_{2}}^2} < \sqrt{r^2}=r\)

La verdad que no soy bueno con los \(\epsilon\) y \(\delta\) y no se bien como seguir a partir de aca, quizas se te ocurra como.... Vi algo que se me hizo familiar, y lo puse jaja.
Saludos!

Lo que plantearon está bien. La idea es que una vez obtenido el abierto \(U\) con el \((1,1)\) adentro, hay una bolita de cnetro \((1,1)\) y radio \(R\) metida adentro del abierto. Adentro de esa bolita se puede meter un rectángulo (eso es obvio... dibujen un círculo, y adentro se mete un rectángulo) de lado \(R \over \sqrt{2}\). Así se consiguieron su rectangulito.

Gracias a Yossarian y Juosja por el aporte, me sirvio una banda!!!!! 😄

Pero con respecto al problema III alguien se le iluminaron las ideas?? no se como hacerlo de otra forma que no sea de la que planteo daniel_htm.

Un saludo y gracias a todos nuevamente

Em el último podés minimizar el módulo al cuadrado en lugar de minimizar el módulo, que es mucho más fácil. En general, esa idea es buen, las raíces cuadradas y las derivadas no se llevan muy bien.