[No resuelto]diciembre 2006 ej. 4)

Sea \(f: R^2 --> R\) una función diferenciable en (0,0) tal que grad(f(0,0)) = (a,b). Sea S = v perteneciente a \(R^2\) / ||v|| = 1}. Se define la función \(g: S --> R\) de la manera siguiente:

g(v) = df/dv(0,0)

Hallar Im(g). Justificar.

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Yo pensé lo siguiente:
Como f es diferenciable en (0,0) entonces vale df/dv(0,0) = grad f(0,0) . v , con v = (v1,v2)
Reemplazo gradiente por (a,b)
Luego, df/dv(0,0) = av1 + bv2

¿Y ahora?

Restringes el estudio a los vectores de norma unitaria. Para ello puedes utilizar una composición como \(\alpha(t) = (cos(t),sen(t))\). Luego, como \(Im(\alpha) = Dom(g)\) se tiene que \(Im(g) = Im (g \circ \alpha)\) por lo que basta estudiar la imagen de la función \((g\circ \alpha)(t) = a cost + b sent\), con \(t\in [0,2\pi)\)

Sugerencia:
\(g(v)\eq=a{v}_{1}+b{v}_{2}\), con \(v\eq=({v}_{1},{v}_{2})\). Sabés que \(||v||\eq=1\). O sea, estás sobre la circunferencia unitaria, en el origen, que es un conjunto compacto. Como \(g\) es continua, resulta que tenés \(g:\mathbb{S}\rightarrow \mathbb{R}\) continua sobre \(\mathbb{S}\), con lo que alcanza máximos y mínimos. Podés usar multiplicadores de Lagrange, o parametrizar la circunferencia con \(\sigma: [0,2\pi)\rightarrow \mathbb{R},\sigma(t)\eq=(\cos t,\sin t)\), quedándote:

La composición es una función derivable. Buscás los puntos críticos: Si \(t\eq=0\) tenés \(b\eq=0\). De ser \(b\neq 0\) no es punto crítico posible. Razonamiento análogo con \(\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\), variando \(a\eq=0\) en la primera y tercera de estas. Si \(t\) no toma alguno de esos valores, y \(a\neq 0\) o \(b\neq 0\), hacemos(hago el caso \(a\neq 0\)) Ahora estudia los casos que quedan. Como \(h\) resulta continua, sobre el compacto \([0,2\pi]\) alcanzará máximos y mínimos absolutos, y en particular, \(Im(h)\eq=Im(g)\eq=[\min Im(h), \max Im(h)]\)(estoy usando el teorema de Bolzano). Perdón que haya sido tan desordenado(la hora no ayudó, con lo que puede haber errores). Con esto debería salir el ejercicio, creo. Si no sale, avisá. Saludos

PD: ya postearon, pero ya lo escribí, así que lo dejo. Perdón

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Hay una identidad en particular que nos da la respuesta de forma inmediata y seguramente la vio en clase. Es un cámino más rápido.

Edito: De hecho, se obtiene que el resultado es que \(Im(g) = [-(a^2+b^2)^1^/^2,(a^2+b^2)^1^/^2]\)

Una consulta exequiel: Entiendo todo hasta que llegas aca:

exequiel131719 escribió:

Ahora estudia los casos que quedan. Como \(h\) resulta continua, sobre el compacto \([0,2\pi]\) alcanzará máximos y mínimos absolutos, y en particular, \(Im(h)\eq=Im(g)\eq=[\min Im(h), \max Im(h)]\)(estoy usando el teorema de Bolzano).

No me queda claro bien esta ultima oracion... que queres decir con esto \(Im(h)\eq=Im(g)\eq=[\min Im(h), \max Im(h)]\)? y donde usas Bolzano?

Muchas Gracias, Saludos!!

Antes que nada, gracias por contestarme y ayudarme.

Exe, seguí los pasos que indicaste pero no me termina de quedar claro cuando analizo el caso donde t es distinto de {0, pi/2, pi, 3pi/2, 2pi}. La función arctg solo se anula en cero por lo que si t es distinto de cero no habría puntos críticos no?

Después analizo los puntos críticos (0, pi/2, pi, 3pi/2, 2pi) en la composición h(t) y me dan los valores a, b, -a, -b, a, respectivamente.
Ejemplo h(0)= acos(0) + bsen(0) = a

Ahora, ¿cómo discrepo quién es máximo y quién es mínimo, de manera de poder definir la imagen?
Tampoco caso cómo a don equis le da esa imagen...

Utilizando la expresión \((g\circ \alpha)(t) = acost+bsent\) uno puede asegurar que de haber máximo y mínimo, la función toma todos los valores intermedios por ser continua (otra posibilidad era demostrar que el círculo de radio unitario es conexo, como se guste).

Para hallar el máximo y el mínimo se puede hacer cualquiera de las dos siguientes cosas:

1. Utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwartz:

Y mostrar que la igualdad se cumple para algún punto.

2. Utilizar la identidad:

Donde \(\theta\) es el ángulo que forman los vectores.

Saludos.

Muchas gracias, ya lo entendí!! 😄

Hola! Muchas gracias a todos los que responden las dudas! Y en especial a Exequiel, quien parece no vivir para otra cosa q para escribir en este foro y para la wiki. Gracias por tu dedicación. Ahora bien, entendi la resolución de Don Equis, pero me quedaron las mismas dudas que a Daniel con respecto a la de Exequiel. Si alguien tuviese la bondad sufieciente para explicarmelo un poquito más, se lo agradecería mucho. Saludos