sea \(f : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\)una funcion diferenciable en \((0,0)\) con \(f(0,0)=2 ,\; f_x(0,0)=1\; ,\; f_y(0,0)=-1\).
Hallar los números reales [a,b] tales que la función
\(g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) definida por
a) Mostrar que la ecuación \(2xye^{y-2}+y+x^2y^3=2\) define una función \(y=f(x)\) en un entorno de \((0,2)\)
b)Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 de la función \(g(x)\,=\,f(x)*sin x + cos x\) en el punto \(a,=\,0\)
3)Dada la función \(f(x\,,\,y)\,=\, 3x^4-4x^2y+y^2\)
a) Probar que\(g(t)= f(at\,,\,bt)\) tiene un mínimo local estricto en \(t\,=\;0\), para a y b arbitrarios
b) analizar si (0,0) es un mínimo local de f
Sug: Estudiar f sobre parábolas
halar el volumen de \(V= \lbrace(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\; :\; x^2\,+\, y^2 \textless (1-z)^2 \,,\; 0\textless \, z\textless1 \rbrace\)
Hola!!
Seria genial si alguien pudiera resolver el ejercicio 1... Nunca vi una funcion partida de ese estilo y la verdad q no me sale.. Creo que este pedido ya lo hicieron en otra oportudnidad.
No pido que este resuelto perfecto, sino, simplemente que alguien de una idea, sobre todo porque nunca se me presento una funcion partida por \(x+y\) o algo de ese estilo... 😕
De acá se deducen las únicas posibilidades con las cuales la función podría llegar a ser diferenciable (\(a=-1,b=4\)). Veamos cómo probar la diferenciabilidad:
Nuestro plano tangente , de existir, será \(z=-x-4y+2\)
Por lo que el cociente incremental quedaría:
I) \(\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{f(-x,4y)+x+4y-2}{ \left\|{(x,y)}\right\|}}\) si \(x+y<0\)
En el I) dividimos y multiplicamos por \(\left\|{(-x,4y)}\right\|\) quedando:
\(\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}\frac{ \left\|{(-x,4y)}\right\|}{ \left\|{(x,y)}\right\|}{\displaystyle\frac{f(-x,4y)+x+4y-2}{ \left\|{(-x,4y)}\right\|}}=0\) (Pues el término de la izquierda está acotado y el de la derecha se va a 0)
Hola! Muchisimas gracias Don Equis.. Mi problema era que no sabia como encarar una funcion partida de esa manera... y tomando las derivadas parciales fijando \(x=0\) e \(y=0\) se soluciono todo, no me habia dado cuenta...
Gracias nuevamente, muy clara la explicacion! 😄
Perdon por la tardanza en la respuesta!
Buenas, Quizás mi pregunta sea un poco trivial, pero yo intenté resolverlo planteando las derivadas de g por definición. Pero hay que separar los casos en que x --> 0+ y x -->0-. Mi pregunta es la siguiente:
Don Equis planteó directamente las derivadas parciales, de g no sabemos siquiera si es continua... Es correcto hacer ese análisis directo o hay que hacerlo por definición??
gracias a todos!
Firma
Para la mayoría de la gente, una solución es una respuesta. Para los químicos no es más que agua sucia.
Tenes razon, la resolucion de Don Equis es correcta pero supone que f sea diferenciable en todo punto. Lo que vos decis parece bien. Habria que ver como lo escribis.
Me parece que lo que dice Don Equis no esta del todo mal, el prueba correctamente que para los valores dados la funcion es efectivamente diferenciable, habria que ver que en los otros casos no puede serlo.
Pero yo supuse la diferenciabilidad de \(f\) no para demostrar la diferenciabilidad de \(g\), sino para hallar los candidatos de \(a\) y \(b\). La diferenciabilidad de \(g\) la demostré tan sólo considerando la diferenciabilidad de \(f\) en el origen.
De acá se deducen las únicas posibilidades con las cuales la función podría llegar a ser diferenciable (\(a=-1,b=4\)).
Y acá tomaste límite, sin saber si esas derivadas son continuas o no.
En esta cuenta estás suponiendo imlícitamente (o ni siquiera, bastante explícitamente) que \(g\) es derivable, con derivadas continuas. Entonces dijiste "Si \(g\) es derivable con dervadas continuas, los únicos posibles valores de \(a\) y \(b\) son tal y tal". Puede ser que te estés perdiendo soluciones que hagan que \(g\) no tenga derivadas continuas, pero sea derivable en \((0,0)\). Hay que plantear los límites laterales, y etc. La cuenta va a salir IGUAL, pero el razonamiento no está del todo justificado... Digamos, tu respuesta es correcta, pero no está bien demostrado que sea la única respuesta posible.
Mr. David tiene razón: acá tomaste derivadas de \(g\) sin saber si era derivable o no...
Y acá tomaste límite, sin saber si esas derivadas son continuas o no.
Sí, sí, pero eso lo hice para hallar \(a\) y \(b\). A vos no te importa cómo los hallé yo.
Yossarian escribió:
En esta cuenta estás suponiendo imlícitamente (o ni siquiera, bastante explícitamente) que \(g\) es derivable, con derivadas continuas. Entonces dijiste "Si \(g\) es derivable con dervadas continuas, los únicos posibles valores de \(a\) y \(b\) son tal y tal". Puede ser que te estés perdiendo soluciones que hagan que \(g\) no tenga derivadas continuas, pero sea derivable en \((0,0)\). Hay que plantear los límites laterales, y etc. La cuenta va a salir IGUAL, pero el razonamiento no está del todo justificado... Digamos, tu respuesta es correcta, pero no está bien demostrado que sea la única respuesta posible.
No me pierdo ningún valor porque \(g\) puede ser (por ejemplo) afín, por lo que puedo exigir la continuidad de las derivadas parciales para hallar \(a\) y \(b\) sin problema alguno. De hecho, podría haber tomado \(f(x,y) = x-y\) para hacer todos los cálculos que la cosa da igual. Si no fuera así y alguien llegara a otros valores por otros medios, entonces yo le podría decir "ja, mirá, acá tenés un contraejemplo"... no puede pasar eso. Simplemente no es admisible cruzarse una situación así. Alguien podría dudar si existe una función \(f\) que force a \(g\) en estas situaciones a tener derivadas parciales continuas si es diferenciable. No lo justifiqué. Tampoco justifiqué por qué el límite del cociente incremental daba 0. ¡Ni siquiera justifiqué que pudiera tomar el límite! Pero, díganme, ¿no pueden con lo que yo presenté justificar esos detalles de forma inmediata?
Vos estas usando que el problema es correcto y que la respuesta no depende de f para justificar tu respuesta, ninguno de esos datos es conocido por vos.
Si yo veo eso en un parcial con mucha suerte le pongo regular.
Puede que el enunciado sea medio vago pero lo que se espera es la cuenta por definicion.
No, no... a ver... Hagamos una analogía. Supongamos que yo tengo una función \(f\) y quiero hallar el límite de la función en un punto. Lo correspondiente es demostrar que dado \(\varepsilon...\) etcétera. Ahora bien, una vez demostrado eso, no importa la forma en que hayás calculado \(l\) ¡incluso lo pudiste elegir al azar! En nuestro caso pasa algo parecido, no importa la forma en que yo hallé los \(a\) y \(b\), importa la demostración de la diferenciabilidad. Es cierto que podrían no ser únicos, pero es trivial demostrar esa parte.
Quimey escribió:
Si yo veo eso en un parcial con mucha suerte le pongo regular.
¡Ni un regular se merece esa cosa en un parcial! Va para el mal de cabeza.
En eso tenes razon, los valores que encontraste sirven, pero no podes saber que sean los unicos, porque el argumento que esta mal te sirve como ayuda para encontrar algun valor pero no para descartar los otros.
Yo lo plantee de esta forma, alguien podria marcarme cual es el error, pq la idea q estoy tomando es muy parecida a la q estan criticando. Y llego a una solucion, donde no estoy probando que para todos los otros a y b no se cumpla
Entonces \(\displaystyle\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial x}}(ax,by) * a\) en (0,0) =\(\displaystyle\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial x}}(0,0) * a\) = a
\(\displaystyle\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial y}}(ax,by) * b\) en (0,0) =\(\displaystyle\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial y}}(0,0) * b\) en (0,0) = -b
Entonces, retomando.
Para x+y>0, quiero ver que valga esto
\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{f(ax,by) - x * a + y* b -2 }{\left\|{(x,y)}\right\| }\) = 0
Para que g sea diferenciable en (0,0) si x+y>0
Haciendo el mismo procedimiento para x+y<= 0 se llega a la expresion del limite diferencial de f, que vale y da
\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{f(x,b) - x + y -2 }{\left\|{(x,y)}\right\| }\) = 0
Por lo tanto, si x+y<=0 g es diferenciable en (0,0) para cualquier a y b.
Queda ver el caso en q x+y >0, que llegamos a que queremos q valga el limite este:
\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{f(ax,by) - x * a + y* b -2 }{\left\|{(x,y)}\right\| }\) = 0
con (a,b) = (1,1) vale por diferenciabilidad en (0,0)
Mi pregunta es, si esta mal diferenciar ahi los casos y como probar q no vale para otros a y b.
Gracias
Saludos
Facundo
En eso tenes razon, los valores que encontraste sirven, pero no podes saber que sean los unicos, porque el argumento que esta mal te sirve como ayuda para encontrar algun valor pero no para descartar los otros.
Pero si hubiera otros el límite de las parciales no podría darme esos valores...
En el I) dividimos y multiplicamos por \(\left\|{(-x,4y)}\right\|\) quedando:
\(\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(0,0)}\frac{ \left\|{(-x,4y)}\right\|}{ \left\|{(x,y)}\right\|}{\displaystyle\frac{f(-x,4y)+x+4y-2}{ \left\|{(-x,4y)}\right\|}}=0\) (Pues el término de la izquierda está acotado y el de la derecha se va a 0)
Saludos.
NO VEO PORQUE LA PARTE IZQ ESTÁ ACOTADA... NI TMP PORQUE ASUMIS QUE EL LIMITE DE LA DERECHA ES 0... YA QUE LA F ES DIFERENCIABLE SOLO EN EL (0,0) Y ESE LIMITE QUE TE QUEDA NO ES EL DE LA DIFERENCIABILIDAD DE F, NI SIQUIERA CORRESPONDEN LAS DERIVADAS PARCIALES....
Para la expresión de la izquierda tienes dos posibilidades:
i) Utilizar la equivalencia de las normas.
ii) Considerar que \(\left\|{(-x,4y)}\right\|\leq \left\|{(4x,4y)}\right\| = 4 \left\|{(x,y)}\right\|\)
Para la de la derecha considera el cambio \((u,v)=(-x,4y)\)
Saludos.
Edito: Por cierto. En este thread en particular hubo discusiones por dejar pasar detalles por alto. Para no volver a ello, pregunto ¿sabes cómo justificar que el cambio de variables es válido?
Estaba mirando justo este ejercicio de la función partida y no sabia bien como encararlo. y me encuentro con dos soluciones la de don equis y la de facu_zeta, que para colmo les da diferente jaja
Yo planeaba hacer todas las cuentas por definición diferenciando cada caso, osea -->0+ -->0-
La cuestión es si considero F(ax,by) como composición y uso la regla de la cadena como facu_zeta, o si no como seria la manera de hacerlo?
Si alguno me dice cual de los ejercicos que pusieron esta bien se lo agradeceria, saludos!
EDIT: acabo de hacerlo por definición y con tranquilidad y me dio como a don equis. Después veo si hago mi primera incursión en latex y lo cuelgo.
Empece como facu_zeta pensando a F(ax,by) como composicion de dos funciones, que es diferenciable en (0,0) pues f es diferenciable en cero y A(x,y) = (ax,by) es clase c1. Llamando H = F(A(x,y) llegue a que las derivadas parciales de H en 0 son a y -b respectivamente.
Luego plantee por definición las derivadas parciales de g, tendiendo a cero por izquierda y derecha y me quedan condiciones sobre a y b para que las derivadas existan (los limites laterales tienen que ser iguales). Luego me queda a = -1 y b=4 . probando con esos valores g es diferenciable.
Luego g no puede ser diferenciable si a y b tienen otros valores porque no existirían las derivadas parciales, que son condición necesaria para diferenciabilidad.
alguna idea para el 2? llegue a que como \(f_x(0,2)=4\neq0 \Rightarrow f(x,y)=0\) define una función \(y=f(x)\) en un entorno del (0,2) por el teorema de la función implícita. Ahora, como hago para encontrar esa función?
No podés encontrar la función(sino no necesitarías implícita), pero con el teorema de la función implicita podés calcular las derivadas parciales y hacer el punto b)
gracias, ahí me voy a fijar mejor eso, espero que no me lo tomen jejej.
Otra cosa, para el 3 que les parece esta resolución:
Sea \(h(t)=(at,bt)\), como \(h\) es \(C^1\) en \(\mathbb{R}\) y f tambíen es\(C^1\) en \(\mathbb{R}^2\) puedo usar la regla de la cadena para \(g(t)=(f_oh)(t)\) y me queda que:
Y esto se anula en particular para \(t=0\), que es lo que me interesa.
Mirando la segunda derivada:
\(g''(t)=36a^4t^2-24a^2bt+2b^2 \Rightarrow{}g''(0)=2b^2\geq0\) para todo \(a,b\) en \(\mathbb{R}\)
Entonces g tiene un mínimo local estricto en t=0.
Aunque me quedan dudas de si puedo decir que el mínimo es estricto ya que tengo un mayor o igual
Para el b) Como f es continua en \((0,0)\) y \(f(0,0)=0\), existe una bola \(B_(_(_0_,_0_)_,\delta_)\)tal que si
Y si tomo deos funciones \(j(x)=(x,0) , k(x)=(x,2x^2) , \left |{x}\right |<\delta\) me queda que:
\((f_oj)(x)=3x^2\leq0\) para todo x
\((f_ok)(x)=-3x^4\geq0\) para todo x
por lo que f no puede tener un mínimo local en el (0,0)
Fijense que les parece aver si está bién o tiré cualquiera.
alguna idea para el 2? llegue a que como \(f_x(0,2)=4\neq0 \Rightarrow f(x,y)=0\) define una función \(y=f(x)\) en un entorno del (0,2) por el teorema de la función implícita. Ahora, como hago para encontrar esa función?
gracias, ahí me voy a fijar mejor eso, espero que no me lo tomen jejej.
Otra cosa, para el 3 que les parece esta resolución:
Sea \(h(t)=(at,bt)\), como \(h\) es \(C^1\) en \(\mathbb{R}\) y f tambíen es\(C^1\) en \(\mathbb{R}^2\) puedo usar la regla de la cadena para \(g(t)=(f_oh)(t)\) y me queda que:
Y esto se anula en particular para \(t=0\), que es lo que me interesa.
Mirando la segunda derivada:
\(g''(t)=36a^4t^2-24a^2bt+2b^2 \Rightarrow{}g''(0)=2b^2\geq0\) para todo \(a,b\) en \(\mathbb{R}\)
Entonces g tiene un mínimo local estricto en t=0.
Aunque me quedan dudas de si puedo decir que el mínimo es estricto ya que tengo un mayor o igual
Fijense que les parece aver si está bién o tiré cualquiera.
En la parte a) despues de calcular la 2da derivada y q te quede \(g''(0)=2b^2\) tenes que separar en casos \(b=0\) y \(b \neq0\), si \(b=0\) el criterio de la derivada segunda no te dice nada, pero si lo reemplazas en la funcion y te queda facil de ver que siempre es positiva y solo se anula en \(t=0\). En cambio si \(b \neq0\) entonces el criterio de la derivada segunda te dice q \(t=0\) es un minimo local, no estricto, asi q eso hay que verlo aparte. Que entre parentesis, no puedo demostrarlo, intento completando cuadrados pero no me sale... si alguien me da una mano, se lo agradezco
EDITO: Lo segui mirando un poco, y la cosa se me complico mas para ver que el minimo es absoluto... pense que como \(t=0\) es un minimo local y como \(g(0)=0\) entonces si la funcion no tiene mas raices, \(t=0\) es un minimo absoluto. Pero cuando busque esas raices usando la formula para cuadraticas, me dio que tiene dos raices mas: \(\frac{b}{a^2}\) y \(\frac{b}{3a^2}\)... ahora si que no entiendo nada. Q esta mal?
hola! estuve viendo los post del problema 1) y las discuciones que se armaron pero la resolucion del ejercicio es mucho mas simple.
lo unico que hay que hacer es considerar a \(f(ax, by) = fo \alpha(x,y)\) donde \(\alpha(x,y)=(ax,by)\) luego \(Dfo\alpha(x,y) = Df(\alpha(x,y))D\alpha(x,y)\) por la regla de la cadena.
y \(Df(0,0) = (1,-1)\) entonces \(Dfo\alpha(0,0) = (a,-b)\) es mas \({(fo\alpha)}_{x}(0,0)= a\) y \({(fo\alpha)}_{y}(0,0)= -b\). si llamamos \(h(x,y)= f(x,y) -2x - 3y \Rightarrow {h}_{x} (0,0) = {f}_{x} (0,0) -2 = -1\) por suma de funciones diferenciables y \({h}_{y} (0,0) = {f}_{y} (0,0) -3 = -4\) en conclusion para que \(g(x,y)\) sea diferenciable deben existir las derivadas parciales y para que existan las derivadas parciales \(a=-1\) y \(b=4\) son las unicas posibilidades. luego tenemos los siguientes datos que no hay que perder de vista! \({g}_{x}(0,0)=-1\), \({g}_{y}(0,0)=-4\) y \(g(0,0)=2\) y\(f\) es diferenciable entonces \(\frac {|f(x,y)-2-x+y|}{||(x,y)||} \rightarrow 0\) cuando \((x,y)\rightarrow (0,0)\) y ademas (esto es lo importante) como \(\alpha\) es diferenciable pues es una transformacion lineal entonces \(fo\alpha\) tambien es diferenciable! entonces \(\frac {|fo\alpha(x,y) - 2 + x + 4y|}{||(x,y)||} \rightarrow 0\) cuando \((x,y) \rightarrow (0,0)\) porque \({(fo\alpha)}_{x}(0,0)= -1\) y \({(fo\alpha)}_{y}(0,0)= -4\). nos piden verificar que g es diferenciable en el \((0,0)\) luego basta verificar los siguientes limites. \(\frac {|f(x,y)-2x-3y-2+x+4y|}{||(x,y)||} = \frac {|f(x,y)-2-x+y|}{||(x,y)||}\) cuando \(0 \leq x+y\) y ese limite tiende a cero pues es dato! tambien hay que verificar cuando \(x+y < 0\) donde nos queda el siguiente limite: \(\frac {|fo\alpha(x,y) - 2 + x + 4y|}{||(x,y)||}\) que tambien tiende a cero pues es dato tambien!
Firma
