[No Resuelto] 2002 /

\({f(2)= -1$}\) , \({| f`(x)| \leq \frac{1}{2} \forall x $}\)

\(\textrm{Mostrar que}\)\({|f(x)| \leq \frac{3}{2}$ para todo x \in (1,3$)}\)
Una tal funcion alcanza necesariamente un valor màximo en (1,3) o no?

como aplico el teorema del valor medio en este ejercicio?? por ser de \({C^1$}\) cumple con los requisitos para utilizarlo, pero no llegue a nada que se aproxime a lo pedido

Aca esta:

Desarmo el modulo:

Ahora integro entre 2 e y: (Recordando que integrar preserva las desigualdades) Luego, usando el dato de f(2)=-1: O lo que es lo mismo: Pero ahora es acotar nada mas y depues volver a juntar el modulo (avisá si no sale) No creo que necesariamente tenga que alcanzar un maximo, por ejemplo, podes tomar \(f(x)=\frac{x-4}{2}\)

Firma

Quimey

Otra:

\(|f(x) - f(2)| \leq |f'(\eta)| |x-2| \leq \frac{1}{2}\), eso porque \(x \in (1,3) \Rightarrow |x-2| < 1\), y uso el teorema del valor medio. La desigualdad termina siendo

\(|f(x) - (-1)| < \frac{1}{2}\), y desarmando el módulo, queda que \(- \frac{3}{2}<f(x)< - \frac{1}{2}\), y eso en particular implica el resultado.

Acerca de que la función alcance un máximo, imaginate que tenés una recta de pendiente 1/2 y que en 2 pase por -1... entonces no alcanza máximo ni mínimo en el intervalo abierto y cumple con todo lo que decís.

Saludos.

Entiendo las dos formas de resolverlo, pero me surgió una duda, simplemente por curiosidad, aunque lo más probable es q yo me esté confundiendo en algo:
De la forma en que lo resuelve Quimey, queda: \(\frac{1}{2} < f(x)\)
Y de la forma en que lo resuelve Yossarian, queda: \(f(x)<-\frac{1}{2}\)
Lo cual es absurdo. Por que pasa esto??

De mi solución no se deduce lo que vos decis...
Fijate como acotas.