Bueno ahi termina el final , quiero agradecer publicamente a exequiel , Quimey , Yossarian , y todos los que resuelven y postean ejercicios en este foro , sin el cual me habria sido casi imposible aprobar esta materia
Saludos y buen año
X_{0}
En gral. podés intentar con X_{acá lo que quiero poner como "sub"}
Igual, si querés, date una vuelta por acá: [LEER] Cómo escribir expresiones matemáticas en TeX . Si no encontrás algo, también podés chequear en algún otro post y mirar como se escriben, o mejor aún, preguntá que no hay drama.
El ejercicio 1 es el teorema de Wierstrass que dice que una función \(f:A\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\) continua sobre un conjunto alcanza máximos y mínimos absolutos. La demostración utiliza el hecho que en \(\mathbb{R}^{n}\), si tenés \(K\) compacto, entonces toda sucesión de puntos de \(K\) tiene una subsucesión que converge a un punto del compacto. Los pasos para la demostración son:
a)probás que \(Im(f)\) está acotada superiormente(solo te interesa ver que hay máximo absoluto). Para ello, suponés por el absurdo:
Si \(Im(f)\) no es acotado superiormente...
.existe \({x}_{1}\in K\) tal que \(f({x}_{1})>1\)
.existe \({x}_{2}\in K\) tal que \(f({x}_{2})>2\)
.
.
.
.existe \({x}_{n}\in K\) tal que \(f({x}_{n})>n\)
Ahora, con el teorema que dije arriba, resulta que existe una subsucesión \({x}_{{n}_{k}}\) que converge a algún punto \(x\) del compacto. Como \(f\) es continua en el compacto, resulta que vale meter a dentro el limíte, teniendo:
De ahi el absurdo, porque \(f({x}_{{n}_{k}}>{n}_{k}\geq k\), y tal subsucesión, cuando tomás \(k\rightarrow +\infty\), tiende a \(+\infty\).
b)Probás que hay un tal valor para el se alcanza el máximo absoluto. En efecto, sea \(M\) el supremo de la imagen. Sabemos que por ser el supremo, existe una sucesión[particularmente monótona creciente] \({y}_{n}\rightarrow M\), con \({y}_{n}\) sucesión de puntos de \(Im(f)\). Luego, en particular, son la imagen de \({x}_{n}\), o sea, \({y}_{n}\eq=f({x}_{n})\). Tomando de nuevo una subsucesión \({x}_{{n}_{k}}\) que converja a un punto del compacto, resulta:
\({y}_{{n}_{k}}\rightarrow M\)(toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite que la sucesión original)
\(f({x}_{{n}_{k}})\rightarrow f(x)\)(nuevamente por ser \(f\) continua)
De acá tenés que \(f(x)\eq=M\), con \(x\in K\), teniendo que hay un punto en el que se alcanza el máximo absoluto.
El ejercicio 2 consta de dos lemas que se usan para demostrar las propiedades de las integrales de Riemman. Para la primera, se razona de manera inductiva; primero probás para una partición más afinada por un solo punto(o sea, \(P\eq=Q \cup \{a\}\)), y después usás la inducción para n puntos fijos, y luego agregás un punto más.
Una vez que probás que si \(P\) es una partición más fina que \(Q\) valen
(1)\(S(f,P) \leq S(f,Q)\)
(2)\(I(f,Q)\leq I(f,P)\)
sale la desigualdad tomando una partición más fina que las dos, tomando \(P'\eq=P \cup Q\). En efecto, como \(P'\) es más fina que \(P\) y \(Q\), valen (1) y (2), obteniéndose:
$$S(f,P') \leq S(f,P)$$
$$I(f,Q)\leq I(f,P')$$
Como \(I(f,P')\leq S(f,P')\), por la transitividad, termina quedando:
Igual estos dos ejercicios son lemas que seguro tenés probados. Espero que sirva. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Una consulta, quizas sea simple, en los apuntes no lo encontre...
No entiendo por qué puedo asegurar, que como \(f\) continua, entonces pasa esto:
\(\lim_{k\rightarrow +\infty} f({x}_{{n}_{k}})\eq=f(x)\).
Por otro lado, busqué en los apuntes de la teorica la demostracion del ejercicio.
La demostracion llega a lo que escribi arriba... lo vuelvo a poner
\(\Longrightarrow f (x_{n_{k}})\) es acotada por ser convergente.
Por lo tanto, en particular \(f(x_{n_{k}})\) es acotada superiormente y esto es contradiccion pues:
$$f(x_{n_{k}}) > n_{k} > h$$
\(\Longrightarrow f(x_{n_{k}})>h\) para todo \(h \epsilon N\)
por lo tanto \(f\) es acotado superiormente.
Asi es la demostracion que tengo... por lo que veo, es parecida a la primera parte de la de exequiel, pero no entiendo la segunda, o sea la b).
Esta bien la demostracion que puse o le falta algo?
Es que vos probás que es acotada, pero no probás que alcanza los máximos y mínimos valores. De ahi la necesidad de la parte b)
Vale \(\lim_{k\rightarrow +\infty} f({x}_{k})\eq=f(x)\) por la siguiente razón:
\(f\) es continua en \(K\), el compacto. Luego:
1-\(|f(x)-f({x}_{0})|<\epsilon\), tomando \(x\) suficientemente cerca de \({x}_{0}\), o sea, \(\exists \delta >0\) que verifica \(||x-{x}_{0}||<\delta\). Esto último vale para \({x}_{0}\in K\).
2-La sucesión \({x}_{n}\rightarrow {x}_{0}\). Esto quiere decir que \(||{x}_{n}-{x}_{0}||< \delta\), para \(n\) suficientemente grande(\(n\geq N\).
3-Esto quiere decir que la sucesión \({y}_{n}\eq=f({x}_{n})\) verifica que para \(n\geq N\), se tiene \(||{x}_{n}-{x}_{0}||<\delta\). Como \(f\) es continua en \({x}_{0}\), por (1) tenés los puntos \(x\) suficientemente cerca de \({x}_{0}\) para que las imágenes estén suficientemente cerca, o sea, \(|f({x}_{n})-f({x}_{0})|<\epsilon\)(básicamente, digo que 1 vale para todos los puntos metidos en una bola centrada en \({x}_{0}\) de radio \(\delta\). Como los puntos de la sucesión están metidos dentro de esa bola, tengo las imágenes tan cerca como quiero)
Perdón; estoy muy desprolijo aclarando todo últimamente. Recomiendo que pienses las cosas para \(n\eq=2\), y después hagas la extensión a \(n\). Para los resultados de análisis I, y muchos otros, sirve(no fijés \(n\eq=1\) porque hay cosas bastante sencillas que no valen cuando hacés el salto a \(n\geq 2\))
Espero haber ayudado. Saludos.
La verdad que no sé. El profesor que tuve le dio bastante bolilla al principio de la cursada al axioma de completitud. En todo caso, acercarse y preguntarle al que tome el parcial si hacerlo o no, pero no recomendaría pasarlo por alto. En un parcial que me tomaron me pusieron un "-" por no haber vuelto a aclarar una cosa dicha :S
Para resolverlo diria que dado un \(\epsilon>0\) busco un \(\delta\) y bastaría tomar \(\delta=\epsilon/M\) no?
Obviamente mas formalizado... 😆
Otra cosa: Queriendo resolver el \(4)\) me di cuenta que hay un par de cosas que estan mal copiadas:
Hay un pequeño error en la curva, estan mal puesto los parentesis...
Para resolverlo diria que dado un \(\epsilon>0\) busco un \(\delta\) y bastaría tomar \(\delta=\epsilon/M\) no?
Obviamente mas formalizado... 😆 ...
Si tomás \(\delta=\epsilon/M\) creo que no ganás nada, porque solamente aseguras que
\({ $\vert f(x)-f(P) \vert }\) < \(\delta * M\) , cuando \({||X - P|| }< \delta\) pero no lo podes acotar por abajo, solo por arriba.
Entonces llegas a querer probar que si vale \({||X - P|| }< \delta\)
queres que valga \(\delta <= ||X-P||\) que justamente esta proponiendo que no valga.
Hay una resolucion de ese ejercicio en el Tromba, pero yo realmente no la entiendo, solo creo q no seria util \(\delta=\epsilon/M\) , estoy a la espectativas de resolucion tambien
Hola!!
Gracias por la respuesta! Busque en el Tromba la demostracion, y la encontré...
Usa fuertemente que, sea una transformacion lineal \(T(x) \exists M>0 : ||T(x)|| \leq M||x||\).. siendo \(Df(x)h\) una transformacion, entonces lo primero vale y queda \(||Df(x)h|| \leq M ||h||\).
Creo que eso es lo mas molesto que usa, despues en gral se entiende. Decime q no entendes, y me fijo, quizas cuando me digas tu dificultad, tambien se transforme en la mia, o quizas te pueda dar una mano.. la primera es mas probable jeje..
después multiplicas y dividís al primer sumando por ||X-P|| y tomas limite con X-->P
Te queda que el primer sumando se va a 0 por ser F diferenciable en P ( te queda un ||X-P|| multiplicando pero no importa porque se va a 0 también) y el segundo sumando evidentemente se va a 0. Después por el teorema del sándwich te queda que
|F(X) - F(P)| --> 0 cuando X-->P y con eso probas la continuidad.
Yo tengo dudas con la parte b) de ese mismo ejercicio.
Yo supuse que como F es derivable en P entonces existe una bola donde el plano tangente aproxima bien la funcion. Despues despeje F(X) - F(P) de un lado, tome modulo de ambos lados y use la desigualdad de C.S y me quedo que M = ||GradF(p)||
la verdad no estoy muy seguro si vale lo que hice.. si alguno me confirma si la idea es masomenos valida jaja..
En el ejercicio 4) cuando dice: \(\sigma(t)=f(1-t^2, e^{(t+1)^2 + sen(t^2 +1)}, t^3 -1)\)
Mi duda es: si f va de \(\mathbb{R}^2\) a \(\mathbb{R}\)... ¿Cómo es que el argumento de f es en \(\mathbb{R}^3\)?
Porque aún si reemplazamos \(t=-1\) nos queda \(\sigma(-1)=f(0, 1, -2)\) Pero el argumento pertenece a \(\mathbb{R}^3\)
Muchas gracias desde ya por vuestro tiempo...
Falta un parentesis.. en el parcial \(\sigma(t)=((f(1-t^2, e^{(t+1)^2 + sen(t^2 +1)})), t^3 -1)\)
Y F va de R^2 --> R^2 (fijate como es el Diferencial)
Creo que en la practica nunca vimos una composición asi. Yo lo que hice fue ir derivando componente a componente a SIGMA, y escribi a lo de adentro de F como otra función mas. Después sale con regla de la cadena en las dos primeras funciones coordenadas de SIGMA.
Borre el post anterior! Estuve todo el dia estudiando y ya veo cualquier cosa.... lei integrable en lugar de deferenciable, entonces las cosas no me cerraban..jaja
En el 4to hice exactamente lo mismo que dijiste.
Te comento que se me ocurrió a mi para el 3)b) (en realidad es basicamente lo que decis, ya que hay una propiedad que nombraron más arriba que dice que \($\Vert T (x)\Vert \leq \Vert M x \Vert$ para todo x perteneciente a $\mathbb{R}^n$donde T en una transformación lineal, entonces como f es diferenciable existe un $ \delta_{1} >0 $tal que $\Vert x-P\Vert< \delta \Rightarrow \frac{\Vert f(X)-f(P) -Df(P)(x-P)\Vert}{\Vert x-P \Vert}< 1 \Rightarrow \Vert f(X)-f(P) -Df(P)(x-P) \Vert < \Vert x-P\Vert$por otro lado como f es continua entonces existe $ 0<\delta_{2} < \delta_{1}$ tal que cumple $\Vert x-P\Vert <\delta_{2} \Rightarrow \Vert f(x) - P\Vert <\varepsilon$ (a determinar). Entonces $ \Vert f(x) - P\Vert < \Vert f(X)-f(P) -Df(P)(x-P)\Vert +\Vert Df(P)(x-P)\Vert < \Vert x-P\Vert + k \Vert x-P\Vert = M \Vert x-P\Vert =\varepsilon $(asi lo elijo) donde k viene de la de la propiedad de arriba($\Vert T (x)\Vert \leq \Vert M x \Vert$) donde Df(P) es una transformación lineal\)
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"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".
La verdad que eso de escribir cada enunciado 10 veces es bastante denso para el que lee.
Pongo la resolución del 3, como el enunciado no está bien escrito, supongo que dice que para todo x en la bola existe un M => 0 tal que |F(x)-F(p)|=<M|X-P|
Por el teorema de lagrange en Rn, tomamos un punto X cualquiera y un punto P cualquiera y afirmamos que existe una bola de radio DELTA centrada en P tal que si |X-P|<Delta entonces :
|F(x)-F(p)|=<gradiente de F ; X-P> <=|Gradiente de F|.|X-P|.Cos(alpha)<=|Gradiente de F|.|X-P|
Como son 2 terminos positivos, ese producto es positivo o 0. Como F es diferenciable, el gradiente de F es evaluable en todos los puntos (quizás salvo el borde de la bola, pero como pedimos que los puntos esten contenidos en el interior de la bola no hay problema) . Entonces como el gradiente es evaluable, podemos decir que siempre existe un M>0 tal que |Gradiente de F|<M y acotando al gradiente por M llegamos a la conclusión que buscabamos.
Perdón por no usar Latex, pero si lo hago en latex tardo 2 horas y no tengo tiempo. saludos!