[No Resuelto] Sin Fecha ,solo dice analisis I

\(\textrm{2- a- Sea f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ de clase C^1$, y D= \lbrace(x,y) x^2+y^2<4 \rbrace $}}\)\(\textrm{Se sabe que f{\vert}_{{\partial}_{D}$} es constante.Es posible que \bigtriangledown f(p)\neq 0$ \forall p \in D$}\)

Con respecto a la parte 2), la respuesta te la proporciona [Resuelto] Examen final de A.I, 18 de julio, 2008, completo. Ahi está demostrado que si se anula en un solo punto la función, en ese punto alcanza un máximo y mínimo absoluto(en realidad, se prueba que si se anula en un solo punto, o es siempre positiva o negativa, salvo ese punto. De eso deducís que es un mínimo o máximo absoluto, según corresponda. Si le agregás la hipótesis de \(\mathcal{C}^{1}\)... en particular es diferenciable, y luego, por ser un extremo absoluto, es un extremo, con lo que debe ser un punto crítico... ahi sale el final)
Para la parte 1):
Bueno, no hay mucho que decir; trataremos de responder por la negación, o sea, ver que \(\exists p\in D:\nabla f(p)\eq=0\). Además, supondremos \(f{|}_{\partial D}\eq=k,\;k\in \mathbb{R}\) Separaremos dos casos:
a-\(f\equiv k,\forall (x,y)\in D\), tendremos que \(\nabla f(x,y)\equiv 0,\forall (x,y) \in D\). Trivialmente se verifica que existe \(p\) como se busca.
b-\(\exists q\in D:f(q)\neq k\). Luego, tenemos que la función no es nula. Más aún, sabemos que \(f\) es continua sobre \(D \cup \partial D\), que es un conjunto compacto. Luego \(f\) alcanza máximos y mínimos absolutos. En particular, tenemos \(f(q)>k\lor f(q)<k\). Luego, si \(f(q)>k\), tenemos que el máximo absoluto de \(f\) se alcanza sobre \(D\), paticularmente, en \(p\in D\). Pero este conjunto es abierto, luego es un máximo local de \(f\) sobre \(\mathbb{R}^{2}\). Como \(f\) era \(\mathcal{C}^{1}\), particularmente era diferenciable, siguiendo que \(\nabla f(p)\eq=0\). Si \(f(q)<k\), se procede análogamente.
Resultó que la negación era verdadera, con lo que no es cierto que es posible que \(\nabla f(p)\neq 0,\forall p\in D\).
Espero haber ayudado y haber sido claro. Saludos.

La primer parte habla de generalizar el teorema de Rolle para dos dimensiones, al menos así lo ví yo. Creo que podrías demostrarlo usando el TVM con dos puntos pertenecientes a la frontera de D.

gracias chicos.....usando sus ideas lo entendi!!! 😆

y nuevamente...gracias!

exequiel131719 escribió:

Con respecto a la parte 2), la respuesta te la proporciona [Resuelto] Examen final de A.I, 18 de julio, 2008, completo. Ahi está demostrado que si se anula en un solo punto la función, en ese punto alcanza un máximo y mínimo absoluto(en realidad, se prueba que si se anula en un solo punto, o es siempre positiva o negativa, salvo ese punto. De eso deducís que es un mínimo o máximo absoluto, según corresponda. Si le agregás la hipótesis de \(\mathcal{C}^{1}\)... en particular es diferenciable, y luego, por ser un extremo absoluto, es un extremo, con lo que debe ser un punto crítico... ahi sale el final)
Para la parte 1):
Bueno, no hay mucho que decir; trataremos de responder por la negación, o sea, ver que \(\exists p\in D:\nabla f(p)\eq=0\). Además, supondremos \(f{|}_{\partial D}\eq=k,\;k\in \mathbb{R}\) Separaremos dos casos:
a-\(f\equiv k,\forall (x,y)\in D\), tendremos que \(\nabla f(x,y)\equiv 0,\forall (x,y) \in D\). Trivialmente se verifica que existe \(p\) como se busca.
b-\(\exists q\in D:f(q)\neq k\). Luego, tenemos que la función no es nula. Más aún, sabemos que \(f\) es continua sobre \(D \cup \partial D\), que es un conjunto compacto. Luego \(f\) alcanza máximos y mínimos absolutos. En particular, tenemos \(f(q)>k\lor f(q)<k\). Luego, si \(f(q)>k\), tenemos que el máximo absoluto de \(f\) se alcanza sobre \(D\), paticularmente, en \(p\in D\). Pero este conjunto es abierto, luego es un máximo local de \(f\) sobre \(\mathbb{R}^{2}\). Como \(f\) era \(\mathcal{C}^{1}\), particularmente era diferenciable, siguiendo que \(\nabla f(p)\eq=0\). Si \(f(q)<k\), se procede análogamente.
Resultó que la negación era verdadera, con lo que no es cierto que es posible que \(\nabla f(p)\neq 0,\forall p\in D\).
Espero haber ayudado y haber sido claro. Saludos.

Buenas, mi pregunta es la siguiente (quizás medio boluda): Exequiel usa que la función NO es constante dentro de D y es continua.

Mi pregunta es la siguiente, en la Parte B me pide demostrar \(\bigtriangledown f(1,2) \neq 0\). Pero el punto \((1,2)\) no cumple la ecuación de \(D\) y Exequiel finaliza diciendo \(\nabla f(p)\neq 0,\forall p\in D\)

le agradezco de antemano si me pueden ayudar

Saludos!

Fijate que exequiel dice que NO es posible que pase eso

Tengo una consulta, a mi se me ocurrió probar el punto \($(a)$\) de otra manera, la dejo aca abajo :

Puedo utilizar una curva \($\alpha $\) para parametrizar D :

\($\alpha : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$\) tal que \($\alpha(t) = (a\cos(t), b\sin(t)) $\) con \(a,b \in [0, 2)$\) y \($t \in [0, 2\pi)$\)

Se que \($ ( f (\alpha(t) ) )' = \bigtriangledown f( \alpha) \alpha' = \bigtriangledown f( \alpha) (-a\sin(t), b\cos(t))$\)

y queriamos ver que \($\bigtriangledown f(P) \neq 0, \, \, \forall P \in D$\) pero tomando \($a = b = 0$\) tenemos que

\($\bigtriangledown f(P) = \bigtriangledown f( \alpha) (-0\sin(t), 0\cos(t)) = \overbrace{ \bigtriangledown f( \alpha) }^{\in \mathbb{R}^2 } (0 , 0) = (0 , 0) $\), entonces encontre un punto en el cual esto no se cumple.

Para esto tuve en cuenta que \($ \bigtriangledown f $\) existe, pues \(f \in C^1\).

Me podrìan decir cual es el error que estoy cometiendo? ( que poca fe me tengo 😄 )

che me parece que le pifiaste al parametrizar una region de R2 con una curva, porque fijate que D es un circulo de radio 2 sin el borde. asi que si queres usar algo parecido a lo que hiciste intenta parametrizarla en polares es decir con las variantes r y thita