$$\textrm{2.Sea A \subset \mathbb{R}^2$ un conjunto abierto y f:A \rightarrow\mathbb{R}$ una funcion C^3.$}$$
$$\textrm{a. Probar que si P es un minimo local de f entonces el Hessiano de f en P es semidefinido positivo.}$$
$$\textrm{b. ¿Es cierto que si el Hessiano de f en P es semidefinido positivo entonces P es un minimo local de f? Responder dando una demostracion o un contraejemplo.}$$
\(\textrm{3. Sea c:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^2$ una curva diferenciable tal que c(0)=c(1)}\)\(\textrm{.Probar que existe t_0 \in (0,1)$ tal que c'(t_0)$ es perpendicular a c(t_0)$.}\)
$$\textrm{Sugerencias: considerar la funcion f(t)= \parallel c(t)\parallel ^2$}$$
$$\textrm{4. Sea f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ derivable tal que f(0)=0. Analizar la convergencia de la integral}$$
\(\textrm{\int_{1}^{+\infty} \frac{f(\frac{1}{x})}{x^r}dx$}\) para r>0.
Acá van las resoluciones:
1)
a-Notemos que \(f\) es continua sobre \(D\eq=[0,1]\times [0,1]\), que es compacto. Luego, alcanza sus máximos y mínimos absolutos \(f\). Sean estos \(M,m\) respectivamente. Tenemos:
$$m\leq f\leq M\implies \iint_{D} m \leq \iint_{D} f \leq \iint_{D} M$$
$$m\cdot A(D)\leq \iint_{D} f\leq M \cdot A(D)$$
donde \(A(D)\) es el área de \(D\). Pero esta área es \(1\), resultando:
$$m\leq \iint_{D} f\leq M$$
Sean \(Q,R\) los puntos tales que \(f(Q)\eq=m,f(R)\eq=M\). Por el teorema de Bolzano, \(f\) recorre todos los valores sobre el segmento \(\overline{QR}\) comprendidos entre \([m,M]\)(esto pues \(f\) es continua), teniendo que existe \(P\in \overline{QR}\) tal que \(f(P)\eq=\iint_{D} f\). Pero \(\overline{QR} \subseteq D\), con lo que tenemos que existe \(P\in D\) que cumple lo pedido.
b-Bueno, vamos a abusar de Fubini un poco, notando que la función \(x{g}_{x}\) es continua, por ser producto de funciones continuas(uso que \(g\in \mathcal{C}^{1}(D)\)), luego:
la última igualdad, debido a que sigue valiendo el teorema de Fubini, pues\(g\) es continua. Ahora, aplicando \(a\) tenemos que existe \(P\in D\) como se pide, o sea, \(g(P)\eq=\iint_{D}g\eq=-\iint_{D}x{g}_{x}\)
2)
a-Copiar la demostración de Hessiano definido positivo, con los debidos detalles. O sea, si hay un mínimo local estricto implica que el Hessiano sea definido positivo, o sea, \(H(x,y)>0\implies H(x,y)\geq 0\). O sea, realmente esta implicación no debería decir nada(nota: es mirar la demostración, y ver qué sacar de ahi. O usar álgebra lineal...).
b-Veamos qe si el Hessiano es semidefinido positivo, entonces no se puede decir en general que hay un mínimo local. Si tomamos \(f(x,y)\eq={x}^{2}+{y}^{3}\) es fácil ver que \((0,0)\) es el único punto crítico y el Hessiano para ese punto es \(2{x}^{2}\). Notemos que es semidefinido positivo, pues siempre es mayor que 0, y para valores de la forma \((0,y)\) siempre se anula( o sea, no solo vale 0 para el valor trivial \((0,0)\)). Veamos, sin embargo, que no es un mínimo. En efecto, esto es muy fácil de ver, pues si estudiamos por puntos de la forma \((0,y)\) , para \(y<0\) resulta \(f(x,y)\eq={y}^{3}<0\) y para \(y>0\) tenemos \(f(x,y)\eq={y}^{3}>0\), siguiendo que no puede ser un extremo local el \((0,0)\), en particular, mínimo local.
3)
[\[a resolver\] Final 27/12/06 - Ejercicio 2](../448-a-resolver-final-271206-ejercicio-2/), está resuleto
4)
Bien, la idea es sencilla. Observemos que \(f\) es derivable en el \(0\), luego, resulta:
Pero luego, por la continuidad de \(f\) en el \(0\), el anterior límite es equivalente a(o sea, estoy usando que \(\lim_{h\rightarrow 0}f(h)\eq=\lim_{x\rightarrow +\infty}f(\frac{1}{x})\). Esto es como acercarse por una curva particular, si bien en este caso es por puntos particulares):
Luego, vamos a probar que la integral pedida converge absolutamente, lo que probará la convergencia de la integral pedida. Vamos a comparar \(|\frac{f(\frac{1}{x})}{{x}^{r}}|\) con \(\frac{1}{{x}^{r+1}}\). Luego:
$$\frac{|\frac{f(\frac{1}{x})}{{x}^{r}}|}{\frac{1}{{x}^{r+1}}}\eq=|f(\frac{1}{x})|x\eq=|f(\frac{1}{x})\cdot x |$$
Tomando límite cuando \(x\rightarrow +\infty\), se ve que:
$$|f(\frac{1}{x})\cdot x |\rightarrow k\geq 0$$
como antes habíamos señalado.
Pero tenemos que \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{{x}^{r+1}}\,dx\) converge, pues \(r+1>1\), siguiendo que \(\int_{1}^{+\infty}|\frac{f(\frac{1}{x})}{{x}^{r}}|\,dx\) converge... de donde se deduce que \(\int_{1}^{+\infty}\frac{f(\frac{1}{x})}{{x}^{r}}\,dx\) converge.
Espero que sirva. Cualquier duda avisen. Saludos.
Edit 1: en la resolución del 4), no me di cuenta(eran las 4:30am...) y usé que \(f\) era \(\mathcal{C}^{1}\). Después retoco la demostración.
Edit 2: ya está la resolución correcta del ejercicio 4). Disculpen el anterior error.
Edit 3: cambie dos cosas; agregué una palabra en el ejercicio 2) que hacía que fuera falsa una proposición, señalada por Don Equis, y en el 4 cambié \(r+1>0\) por \(r+1>1\), que es lo que realmente uso
Edit 4: cambié otra cosa; Ger señaló un error de cuentas, que no había visto. Gracias(también alguien me había señalado el mismo error, pero cuando edité el post, no lo había podido encontrar) por verificar el ejercicio
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
En el ejercicio uno se usa el Teorema del valor medio para integrales dobles que dice; que si f es continua en D (una region elemental).Entonces, para algun punto \(\textrm{(x_0,y_0)$}\) en D, tenemos:
Antes que te agarre un ataque de locura, pongo la respuesta en ''Resolución''...
\(A(D)\eq=1\), pues es un rectángulo \(D\eq=[0,1]\times [0,1]\), o sea, de base y altura 1. En general:
\(A(D)\eq=\iint_{D}1\,dx,dy\). En este caso, si todavía no me crees...
\(\int_{0}^{1}[\int_{0}^{1}1\,dx]\,dy\eq=\int_{0}^{1}1\,dy\eq=1\)
Espero que te haya servido. Saludos.
si ok. ..gracias me aclaro una duda muy grande...jajajja pero en realidad tenia una gran confusion con el teorema del valor promedio, despues de tanto leer se me hizo una casuela de teoremas y demostraciones en la cabeza...yo crei que..esa àrea era el \({\frac{1}{b-a}$}\) que aparece en el enunciado del Teor. aunque en este ejercicio daba 1 probe haciendo otro y nada que ver...==> (con esto me confundi...)\({ f(X) = \frac{1}{b-a}$ \int_{a}^{b}f(x)dx$}\)
pd: estas seguro que da 1?? habra alguna cuenta mal?? 😆 😆
Hola, hace un rato que estoy tratando de resolver esto y no me sale...
En el ejercicio \(2.a)\) dice que si \(P\) es minimo local, entonces \(Hf(P)\) es definido positivo.
Ahora bien, en la demostracion que tengo del teorico dice lo siguiente:
Y esto lo demuestra usando que \(Hf(P) es\ definido\ positivo \Longrightarrow \exists M>0 : Hf(P)(x-P)\geq M||x-P||^2\), y usando polinomio de Taylor de orden 2, llega a q \(f(P)\) es mínimo local...
Mi implicacion es justamente contraria a la parte a), y es lo que pide en la parte b) un contraejemplo y exequiel lo da sin problemas
A ver si me pueden dar una mano porque estoy muy mareado!!
Espero haber sido claro!
Acá van las resoluciones:
2)
a-Copiar la demostración de Hessiano definido positivo, con los debidos detalles. O sea, si hay un mínimo local implica que el Hessiano sea definido positivo, o sea, \(H(x,y)>0\implies H(x,y)\geq 0\). O sea, realmente esta implicación no debería decir nada.
b-Veamos qe si el Hessiano es semidefinido positivo, entonces no se puede decir en general que hay un mínimo local. Si tomamos \(f(x,y)\eq={x}^{2}+{y}^{3}\) es fácil ver que \((0,0)\) es el único punto crítico y el Hessiano para ese punto es \(2{x}^{2}\). Notemos que es semidefinido positivo, pues siempre es mayor que 0, y para valores de la forma \((0,y)\) siempre se anula( o sea, no solo vale 0 para el valor trivial \((0,0)\)). Veamos, sin embargo, que no es un mínimo. En efecto, esto es muy fácil de ver, pues si estudiamos por puntos de la forma \((0,y)\) , para \(y<0\) resulta \(f(x,y)\eq={y}^{3}<0\) y para \(y>0\) tenemos \(f(x,y)\eq={y}^{3}>0\), siguiendo que no puede ser un extremo local el \((0,0)\), en particular, mínimo local.
Decís "si hay un mínimo local implica que el Hessiano sea definido positivo", mientras que lo correcto sería semidefinido. Por ejemplo, la función constante tiene mínimo en todos los puntos y el Hessiano no es definido positivo.
Tengo una duda sobre la resolución que dio exequiel131719 para el ejercicio 4, y es la siguiente:
Cuando comparas \(|\frac{f(\frac{1}{x})}{{x}^{r}}|\) con \(|\frac{1}{{x}^{r+1}}|\) y aplicas \(\lim_{x\rightarrow+\infty}\) te da por resultado \(\lim_{x\rightarrow+\infty} = 0\)
Pero ¿Cuando aplicas el criterio de comparación, no te tiene que dar \(\lim_{x\rightarrow+\infty} = L\) con \(L \epsilon (0,\pm \infty)\)? O sea, no tiene que ser ni cero ni infinito?
Agradecería que me aclaren esta duda
Saludos!!
Firma
Para la mayoría de la gente, una solución es una respuesta. Para los químicos no es más que agua sucia.
El tema es así; el criterio de comparación es parecido al de las series, donde si tenés \(f,g\) positivas, vale que \(\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}\eq=k>0\), entonces \(\int_{a}^{+\infty}f\) converge si y solo si \(\int_{a}^{+\infty}g\) converge(\(a\) es un punto tal que ambas funciones son positivas en el mismo y están bien definidas). El criterio, sin embargo, dice aún más(condiciones más débiles). Si mirás la demostración del criterio, vas a entender por qué:
a)\(\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}\eq=0\) y \(\int_{a}^{+\infty}g\) converge, entonces \(\int_{a}^{+\infty}f\) converge
b)\(\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}\eq=+\infty\) y \(\int_{a}^{+\infty} g\) diverge, entonces \(\int_{a}^{+\infty}f\) diverge.
Espero haberte aclarado. Saludos.
Exequiel, al principio no entendía algunas cosas de tu resolución del ej 4. No entendía por qué comparaste con \(\frac{1}{{x}^{r+1}}\), ya que \(\frac{|\frac{f(\frac{1}{x})}{{x}^{r}}|}{\frac{1}{{x}^{r+1}}}\eq=|f(\frac{1}{x})|x\) y no \(\frac{|f(\frac{1}{x})|}{x}\). Para que te de ésto último tenías que comparar con \(\frac{1}{{x}^{r-1}}\), pero aún así no entendía por que habías hecho todo el planteo del principio acerca de la derivada, si directamente \(\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{|f(\frac{1}{x})|}{x}\eq=0\), además si se usaba ésta comparación se podía asegurar la convergencia únicamente para r>2.
Despúes escribiendo este post me di cuenta que, como habías demostrado antes, \(\lim_{x\rightarrow +\infty} |f(\frac{1}{x})|x=\lim_{x\rightarrow +\infty} |f(\frac{1}{x})x|=k\) (la x entra dentro del módulo si se acota el dominio de \(\frac{1}{{x}^{r+1}}\) para que está sea positiva) lo cual resuelve el problema magnificamente puesto que entonces la compararación concluye con un "si y solo si". Tambien queda bien el resto del ejercicio y la integral original converge para todo r>0. Así que solo te confundiste en una cuenta, pero tengo que decirte que la idea es brillante, no creo que se me hubiese ocurrido hacer lo que hiciste con la derivada.
Muchas gracias por seguir ayudandonos Exequiel, Quimey y Yossarian!!