ademas probe sacando el 1/x afuera integrando con el /sin el 1/x y no sale nada..
no se...ya no se cmo seguir....
una pregunta: el teorema del valor medio para integrables solo sirve para un intervalo \(\textrm{c \in(a,b)$}\)en donde
\(\textrm{b \neq \infty$ }\) o para a ( en otro caso)
Lo que se me ocurre es plantear lo siguiete:
\(a=\int_0^x \frac{a}{x}dt\).
Una vez que te das cuenta de eso escribis:
\(\int_0^x \frac{f(t)}{x}dt-a=\int_0^x \frac{f(t)-a}{x}dt\).
Lo unic que falta hacer es meter modulo y acotar, separando en 2 cachos la integral, usando que f tiende a a.
Sale usando L'hopital. Aunque creo que apuntaban mas a lo que hizo quimey porque es un final y pedia demostrar. que se yo....mejor aprender a acotar que a usar L'hopital.
Sale por L'Hopital, pero hay que probar primero que \(\int_{0}^{+\infty}f(t)\,dt\eq=+\infty\). Esto no es muy difícil de probar, pues, al ser \(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\eq=a>0\implies \forall \epsilon>0,\exists N>0:\forall x\geq N, |f(x) -a|<\epsilon\)
O sea, sacás \(a-\epsilon <f(x) <a+\epsilon\)
Tomando \(\epsilon \eq=\frac{a}_{2}\) tenés:
\(\frac{a}{2}<f(x)\) para \(x\geq N\). Pero: \(0<\frac{a}{2}\implies \int_{N}^{+\infty} \frac{a}{2}\eq=+\infty \implies \int_{N}^{+\infty} f(x)\,dx\eq=+\infty\). Como \(f\) era continua sobre \([0,+\infty)\), el resultado se extiende \(\int_{0}^{+\infty} f(x)\,dx\eq=+\infty\).
Y ahora si estás en condiciones de L'Hopital...(necesitás tener \(\frac{\infty}{\infty},\;\frac{0}{0}\) para aplicarlo... realmente suena horrible esto que escribí)
De igual manera, ¿qué diría el teorema del valor medio?
\(\exists c\in (0,x)\) tal que \(\int_{0}^{x}f(t)\,dt\eq=f(c)\cdot x\)
Luego...
\(\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)\,dt\eq=f(c)\)(!!!)
y como que ahora se ve un poco mejor que \(f(c)\rightarrow a\) cuando \(x\rightarrow +\infty\)...¿no? Podés trabajar por acá el ejercicio.
Jajajaja, el teorema del Valor medio. Sabía que si posteaba Juan, era el teorema del Valor Medio. Por eso entré(en broma, Juan)
Saludos, y mirá por cualquiera de las 3 sugerencias
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
De igual manera, ¿qué diría el teorema del valor medio?
\(\exists c\in (0,x)\) tal que \(\int_{0}^{x}f(t)\,dt\eq=f(c)\cdot x\)
Luego...
\(\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)\,dt\eq=f(c)\)(!!!)
y como que ahora se ve un poco mejor que \(f(c)\rightarrow a\) cuando \(x\rightarrow +\infty\)...¿no? Podés trabajar por acá el ejercicio.
Jajajaja, el teorema del Valor medio. Sabía que si posteaba Juan, era el teorema del Valor Medio. Por eso entré(en broma, Juan)
Saludos, y mirá por cualquiera de las 3 sugerencias
Yo lo hice por teo. del valor medio también, pero no entiendo cómo justificar que \(f(c)\rightarrow a\) cuando \(x\rightarrow +\infty\). Osea, sabemos que \(0<c<x\), pero c podría seguir siendo chico cuando \(x\rightarrow +\infty\), no? No es un sandwich este y no veo cómo justificar que \(c\rightarrow +\infty\).
Gracias, espero que puedan contestar antes del martes que rindo xD.