sea \(f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) continua tal que \(\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=+\infty\) Probar que existe \(y_0\) tal que \(Imf=[y_0:+\infty]\)
El enunciado es muy obvio, pero tengo problema al expresar la solucion.
Por definicion de los limites se que dado \(M>0\) existe \(K>0\) tal que si \(x>K\) entonces \(f(x)>M\)(por el primer limite) y que dado \(M>0\)(tomo el mismo M que antes) existe \(K'>0\) tal que si \(x<-K'\)entonces \(f(x)>M\)
Entonces si \(x\)no pertenece al intervalo \([-K':K] f(x)>M\) luego en el intervalo \([-K':K]\) como \(f\)es continua y este es un intervalo cerrado entonces alcanza un minimo llamemoslo \(J\).
Ahora, si \(M\geq J\) no pasa nada porque entonces \(f(x)\geq J\)para todo x, y listo, problema solucionado, ahora como sigo si \(M<J\).
exequiel resolvio uno muy parecido en [No resuelto] - 11/08/07 - Ej. 1 - Final
que hay algo que no entendi, pero eso lo pregunto ahi mismo para no ser tan desordenado.
Volvés a plantear lo mismo, pero tomando \(M\eq=J\), forzando a que el verdadero mínimo aparezca en el ahora nuevo intervalo. Te falta este paso más.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Pero vos tenes que probar que existe un \(y_0\) tal que para cualquier x :\(f(x)\geq y_0\)
¿no?
Si es así ya está, pues en el intervalo \([-K,K]\) f toma valores mayores que J (el mínimo de la función) y en los intervalos \((-\infty,-K)\) y \((K,+\infty)\) f toma valores mayores que M
El tema es que, llegado el caso que \(M\) sea el menos, por la definicion de limite llegas a que \(f>M\) lo que no quiere decir que f en algun punto sea igual a \(M\)
Están complicando un ejercicio que es muy fácil, y lo peor de todo... es que yo ayude. Si \(M<J\), resulta que... no puede haber tal caso. Porque \(f(x)>M\), o sea, alcanza por continuidad \(J\) como valor, con lo que este valor no puede aparecer en este intervalo que tomaste. En definitiva; cuando tomaste el intervalo que elegiste, marcaste al mínimo, porque la función fuera del intervalo es más grande que \(M\). En definitiva, como dijo Ale, \({y}_{0}\eq=\min(M,J)\).
PD: por ser continua... si podés hacer que \(f(x)>L,\;L<M\)... toma en algún momento el valor \(M\). Es continua la función... terminen los detalles, pero la resolución YA ESTÁ ESCRITA en este thread... solo hay que ordenarla.
A ver... si vos tomás el intervalo \((-\infty,-K)\) M tiene que ser forzosamente mayor o igual que J, pues si fuera menor que J entonces el mínimo en el otro intervalo habría sido un número entre M y J ¿No es asi?
Es un detalle, pero creo que para que sea \({y}_{0}\eq=\min(M,J)\), si resulta que si M<J, entonces tendria que darse también que M pertenezca a la imagen de \(f\), no? Porque la definición citada por juanma dice que M tiene q ser > 0, pero no dice nada de q pertenezca a \(Imf\). Por ejemplo para \(f(x)=x^2+2\) se podría tomar M=1. Esta bien lo que dijo??