[No Resuelto] Final 17/06/08 ejercicio 1

Sea \(f : U\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}\) con derivadas parciales continuas en el abierto U. Probar que f es diferenciable en U.

Bueno, el problema que me surgió se reduce a dos posibilidades, o a esto le falta que f es continua en U y lo que hay que hacer es demostrar que si f es C1 entonces es diferenciable, o hay que probar primero que si sus derivadas parciales son continuas entonces f también lo es (lo cual tengo entendido que no es cierto) para poder usar Lagrange.. Sino, hay que hacer una demostración diferente que la de C1 implica diferenciable, y no se me ocurre qué hacer..

Este es el teorema ''si es \({C}^{1}\) en \(D\), es diferenciable en \(D\)''. Es un teorema, en el sentido que suele tomarse. No es muy difícil probar; basta estudiar \(f(x+h,y+k)-f(x,y)\), tomando \((x,y)\) el punto que querés probar, y \(h,k\) suficientemente pequeños. Sumás y restás \(f(x+h,y)\), y obtenés \(f(x+h,y+k)-f(x+h,y)+f(x+h,y)-f(x,y)\). Como \(f\) satisface que existen las derivadas parciales en \(D\), resulta que, por ser además continua \(f\), vale Lagrange en una variable. Si mirás qué le pasa a \(f(x+h,y+k)-f(x+h,y)\), podés pensar que \(x+h\) está fijo, y tenés una función en una variable, con las hipótesis de Lagrange, que te permiten \(f(x+h,y+k)-f(x+h,y)\eq={f}_{y}(P)k\). Lo mismo hacés con la otra diferencia, y obtenés \(f(x+h,y)-f(x,y)\eq={f}_{x}(R)h\). Luego, además, son continuas \({f}_{x},\;{f}_{y}\) en \((x,y)\). Luego, existen \({f}_{x}(x,y),\;{f}_{y}(x,y)\). Estudiás el límite de diferenciabilidad...

Creo que vos podés darle el toque final ahora, viendo que \({f}_{x}\) es continua en \((x,y)\), con lo que \(\lim_{X\rightarrow {X}_{0}}{f}_{x}(X)\eq={f}_{x}({X}_{0})\). Lo mismo con la otra derivada. Luego, acotás primero con la desigualdad triangular, y bueno, el resto a cargo tuyo. No se si aclaré; pero la intención era ayudar(me contradigo en la misma oración...). Saludos.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Sí, esa demostración que das la conozco y la sé hacer.. El problema es que estás usando que f es continua para usar Lagrange, y justamente el enunciado no dice nada de que f sea continua..

En realidad lo que hacés es definir una función en una variable, llegas a que es derivable, luego, como está en una variable, es contínua, y ahí vale Lagrange.. ahora la posteo si querés

Firma

$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$

Haber... sabés que \({f}_{x}\) es continua en \((x,y)\) y \((x+h,y)\), por ejemplo. Como son continuas, existen las derivadas parciales y luego resulta que la función que tiene fija \(y\), y tiene \(x\) móvil, es continua en el intervalo deseado y diferenciable, nuevamente en el intervalo buscado. Lo que sabés es que es continua la función \(g(x)\eq=f(x,y)\). Espero que ahora se entienda...

Claro, ahí entendí, lo que me faltaba era esa parte digamos, poder justificar por qué puedo usar Lagrange aunque no me digan que f es continua.. gracias..

Dejo el teorema y la demo, espero que sirva:

Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) y \((x_{0},y_{0})\) tal que existe \(r>0\) , \(B((x_{0},y_{0}),r) \subseteq D\) . Existen también las derivadas parciales de \(f\) en \(B((x_{0},y_{0}),r) \subseteq D\) . Si además son contínuas en \((x_{0},y_{0}) \quad \Longrightarrow f\) es diferenciable en \((x_{0},y_{0})\).

Demostración:

\(f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})\) = \(f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0}+h,y_{0})+-f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})\)

Sea \(g(t)=f(x_{0}+h,t)\) , \(t\in [a,b]\) tal que \((x_{0}+h,t)\in B((x_{0},y_{0}),r)\) si \(t\in [a,b]\) .

Sea \(t\in [a,b]\) , \(\frac{g(t+s)-g(t)}{s} = \frac{f(x_{0}+h,t+s)-f(x_{0}+h,t)}{s} \; \longrightarrow_{s\rightarrow 0} f_{y}(x_{0}+h,t)\)

Luego, \(g\) es derivable en \(t\) , y \(g^{'}(t)=f_{y}(x_{0}+h,t)\)

Como \(g\) cumple las hipótesis del teorema de Lagrange , existe \(c_{1}\in (y_{0},y_{0}+k)\) tal que \(g(y_{0}+k)-g(y_{0})=g^{'}(c_{1})\cdot k\) . Si llamamos \(P=(x_{0}+h,c_{1})\) tenemos \(f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0}+h,y_{0}) = f_{y}(P)\cdot k\) .

Definiendo \(g_{1}(t) = f(t,y_{0})\) , \(t\in [c,d]\) tal que \((t,y_{0})\in B((x_{0},y_{0}),r)\) si \(t\in [c,d]\) , razonando de forma análoga concluimos que existe \(Q\) = \((c_{2},y_{0})\) , \(c_{2}\in (x_{0},x_{0}+h)\) tal que \(f(x_{0}+h,y_{0}) - f(x_{0},y_{0}) = f_{x}(Q)\cdot h\) .

Luego, \(f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})\cdot h-f_{y}(x_{0},y_{0})\cdot k =\)
\(= f_{y}(P)\cdot k+f_{x}(Q)\cdot h-f_{x}(x_{0},y_{0})\cdot h -f_{y}(x_{0},y_{0})\cdot k\) .

Como las derivadas parciales son contínuas en \((x_{0},y_{0})\) :
Dado \(\epsilon >0\) , existe \(\delta >0\) tal que \(||(x,y)-(x_{0},y_{0})||<\delta\)

y \(|f_{y}(x,y)-f_{y}(x_{0},y_{0})|<\frac{\epsilon}{2}\) .

Tomando \(||(h,k)||<\delta\) ,

Luego, \(f\) es diferenciable en \((x_{0},y_{0})\)

Bueno, esa es la Becker's demo. Espero que esté bien texeada, y sirva, Salud os.