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[A Resolver] Final sin fecha - Ejercicio 3

1 respuestas 5238 visitas 2008-08-11

#1 Frank 2008-08-11 00:55

Encontré este ejercicio de multiplicadores de Lagrange que siempre me costó en general, cuando tengo la distancia entre una parábola y una recta o un plano, y no la distancia a un punto:

\textrm{Encontrar el punto de la parabola $y^2=x, z=0$ que este mas proximo al plano $z=x+2y+8$.}

Saludos!!

#2 santo 2008-08-11 03:04

Sale sin multiplicadores de lagrange usando una formula de algebra del cbc:
Si \(Q\) es un punto cualquiera del plano \(\Pi\), la distancia entre el punto \(P\) y \(\Pi\) es:

D(P,\Pi) = \frac{|(P-Q)\cdot N|}{||N||}

Donde \(N\) es la normal al plano.

Es claro que la parabola esta formada por los puntos de \(\mathbb{R}^3\) de la forma \((y^2,y,0)\)
El plano en cuestion es:

\(\Pi: \ z = x + 2y + 8 => -x - 2y + z = 8 => (-1,-2,1)\) es normal al plano.

Luego, dado un punto \(P=(x,y,z)\), su distancia al plano es (usando que \((0,0,8)\in \Pi\)):

D(P,\Pi) = \frac{|(x,y,z-8)\cdot (-1,-2,1)|}{||(-1,-2,1)||}

D(P,\Pi) = \frac{|-x - 2y + z - 8|}{\sqrt{6}}

En particular, teniendo en cuenta nuestra parametrizacion de la parabola dada por \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3 , g(y) = (y^2,y,0)\), y llamando \(f(x,y,z) = D((x,y,z),\Pi)\), queda claro que buscamos el minimo de la funcion \(f \circ g\). Pero:

f \circ g(y) = \frac{|-y^2 - 2y - 8|}{\sqrt{6}}

f \circ g(y) = \frac{|y^2 + 2y + 8|}{\sqrt{6}}

f \circ g(y) = \frac{|(y+1)^2 + 7|}{\sqrt{6}}

Como \((y+1)^2 + 7 \geq 7\), esto es lo mismo que:

f \circ g(y) = \frac{(y+1)^2 + 7}{\sqrt{6}} \geq \frac{7}{\sqrt{6}}

Pues \((y+1)^2 \geq 0\), y ademas la igualdad se da si y solo si:

(y+1)^2 = 0 \Leftrightarrow y+1 = 0 \Leftrightarrow y = -1

Con lo cual (1,-1,0) es el punto de la parabola mas cercano al plano.

Si hay algo mal, corrijan.

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