[No resuelto] - 11/08/07 - Ej. 1 - Final

Sea \(f: \mathbb R \to \mathbb R_{\geq 0}\) una función continua y positiva, tal que \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 = \lim_{x \to -\infty} f(x)\). Demostrar que la función alcanza su máximo.

mmmm si no me equivoco eso me huele a teorema de Rolle. Ahora estoy a las apuradas pero despues lo intento hacer.

Yo pensé esto:
Puesto que es una función continua y positiva, \(f(x)>0\forall x\). Luego, empecemos a extraer información. Notemos que \(\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)\eq=0\Leftrightarrow \forall \epsilon>0,\;existe\;{x}_{0}\in\mathbb{R}:\forall x\geq{x}_{0},\;|f(x)|<\epsilon\). Luego, fijo \({\epsilon}_{0}>0\Rightarrow |f(x)|\eq=f(x)<{\epsilon}_{0}\). Luego, hago lo mismo con el otro límite, fijando un \({\epsilon}_{1}>0\)(\(\forall x\leq {x}_{1},|f(x)|<{\epsilon}_{1}\), usando la definición de límite, pero a \(-\infty\)). Luego, puesto que las correspondientes desigualdades valen para los \(x\geq{x}_{0}\), y en el otro caso, \(x\leq {x}_{1}\), tomo el intervalo cerrado \([{x}_{1};{x}_{0}]\) . Como f es continua sobre \([{x}_{1};{x}_{0}]\), y es compacto este conjunto, debe alcanzar su máximo valor en este intervalo. Sea \(M\) este valor. Si ahora, tomo como \({\epsilon}_{0}\eq={\epsilon}_{1}\eq=M\), me queda un nuevo intervalo \([a,b]\) cerrado, construído de manera análoga al anterior, que ahora satisface que \(x<a\Rightarrow f(x)<M,\;x>b\Rightarrow f(x)<M\). Luego, f es continúa sobre \([a,b]\) y este es un compacto. Luego, alcanza el máximo absoluto, y este es el máximo absoluto que alcanza la función en \(\mathbb{R}\), pues es \(M'\geq M\), M' el nuevo máximo(es el nuevo máximo porque ahora todos los x que dejé afuera del intervalo satisfacen \(f(x)<M\). Esto es lo que se quería probar.
Espero haber sido claro. Una consulta; de las hipótesis que el problema da, ¿es realmente necesario pedir que sea positiva la función, para que alcance el máximo; no basta pedir que la función sea positiva en algún intervalo?(mantengo fijas las hipótesis de continuidad y los valores de los otros límites; aunque estos también podrían generalizarse, ¿no?). Saludos.

Efectivamente, basta pedir que la función sea positiva en un punto (como es continua, es lo mismo que pedir que lo sea en un intervalo). Una leve modificación:
Llamemos \(x\) a ese punto. Entonces \(f(x) > 0\). Sean N tal que \(|x|>N \Rightarrow |f(x)|<f(x)\), que existe, porque si me voy a infinito de los dos lados, \(|f(x)|\) eventualmente se hace tan pequeño como yo quiera. Entonces \(f\) alcanza su máximo en \([-N,N]\), que es \(M \geq f(x)\). Entonces, \(f(x) \leq M\) en \([-N,N]\), y afuera está acotada por \(f(x) \leq M\). Entonces, la función es siempre menor que \(M\), y alcanza su máximo en \([-N,N]\), en particular, lo alcanza en algún punto.

La única diferencia está en que elegí un solo intervalo y no dos. Lo que hizo exe está perfecto... es una cuestión de elegancia, digamos.

Saludos.

hmmm,se confunde un poco el punto al llamarlo x,con el f(x) genérico....igual creo q lo entendí....

para los puntos que quedaron afuera de [-N;N] su imagen no es menor estricta que M?

Gracias =P

No entiendo porque \(M'\geq M\) si alquier me lo puede explicar lo agradeceria.

Porque acoté la función con \(M\). Luego, el máximo del nuevo intervalo cerrado tiene que ser \(M\), si ya era máximo absoluto, o un \(M'\geq M\). Ese es el \(M'\). Este es el mismo paso que te faltó en el otro ejercicio a través del que paré acá...

Revivo esto un poco; no entiendo por que es necesaria la hipotesis de que la funcion sea positiva en algun punto, y no veo como lo uso yossarian en su demostración.

gracias y saludos

Modifique un poco lo de Yossarian para que sea mas entendible:

Yossarian escribió:

Efectivamente, basta pedir que la función sea positiva en un punto (como es continua, es lo mismo que pedir que lo sea en un intervalo). Una leve modificación:
Llamemos \(x_0\) a ese punto. Entonces \(f(x_0) > 0\). Sean N tal que \(|x|>N \Rightarrow |f(x)|<f(x_0)\), que existe, porque si me voy a infinito de los dos lados, \(|f(x)|\) eventualmente se hace tan pequeño como yo quiera. Entonces \(f\) alcanza su máximo en \([-N,N]\), que es \(M \geq f(x)\). Entonces, \(f(x) \leq M\) en \([-N,N]\), y afuera está acotada por \(f(x) \leq M\). Entonces, la función es siempre menor que \(M\), y alcanza su máximo en \([-N,N]\), en particular, lo alcanza en algún punto.

La única diferencia está en que elegí un solo intervalo y no dos. Lo que hizo exe está perfecto... es una cuestión de elegancia, digamos.

Saludos.

Usas que sea positiva para una acotación.

Ahí me cierra mucho más, en la última parte sería "y afuera está acotada por \(f(x_0) \leq M\)", no?

mil gracias