Tema
Sea \(f(x):{\mathbb{R}}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}\) de clase \({C}^{2}\) y sea \(g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) definida por \(g(x) = f(x,{x}^{2})\). Si \(\bigtriangledown f(0,0)\) y \({f}_{xx} > 0\), probar que \(x=0\) es un minimo de \(g\).
Hay 10 tipos de personas en el mundo. Los que entienden binario, y los que no...
Yo pensé lo siguiente🙁usé \(\nabla f(0,0)\eq=(0,0)\). Me parece que te faltó aclararlo)
Puesto que f es \({C}^{2}\), en todo \(\mathbb{R}^{2}\), y como g es la composición \(g\eq={f}_{0}h(x),\;h(x)\eq=(x,{x}^{2})\) y esta última es diferenciable dos veces, debido a que sus funciones componentes lo son, vale la regla de la cadena, y g es diferenciable dos veces. Luego, notemos que de ser un mínimo de g, como es diferenciable, su extremo debe ser un punto crítico; vale decir, \(g'(0)\eq=0\). Veamos que es así(usé la regla de la cadena; para una composición de este estilo, la derivada es el producto escalar entre el gradiente de f y el vector derivado de h. Sino, verificalo con la regla de la cadena)
\(g'(x)\eq=<\nabla f(h(x)),(1,2x)>\eq={f}_{x}(h(x))+{f}_{y}(h(x))\cdot 2x\).
Puesto que \(\nabla f(0,0)\eq=(0,0)\Leftrightarrow {f}_{x}(0,0)\eq={f}_{y}(0,0)\eq=0\), se concluye, reemplazando:
\(g'(0)\eq=0\). Sabemos ahora que es punto crítico x=0 de g. Pero no sabemos si es mínimo. Pero como es una vez más diferenciable, en particular, si probamos que \(g''(0)\eq>0\), concluímos que es mínimo. Entonces, derivamos de nuevo, y queda(ojo que ahy que volver a usar regla de la cadena, y justificar que vale por ser las derivadas parciales diferenciables):
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Uh gracias. Era bastante pavo al final jajaja. A la tarde hice uno muy parecido y me salio. Igual estoy en el horno me pa' 😕 . pero muy prolijo gracias. Ya me estaba olvidando de justificar la diferenciabilidad...