[No resuelto] - 22/12/00 - Ej1

Me tiene loco este. Determine el conjunto de numeros reales para los cuales converge la siguiente serie de potencias: \(\sum_{1}^{\infty}\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{n}{x}^{n}\). Estoy seguro que \(\sum_{1}^{\infty}\frac{ln(1+\frac{1}{n})}{n}\) converge y edspues solo basta con probar para que valores de n la serie \({x}^{n}\) converge, cosa que supongo ya saben de memoria. Pero no se como probar que el logaritmo sobre n converge. Y sino, esta bien planteado el ejercicio? porque no se como estar seguro si esto me dice todos los valores de n para los cuales converge...

Te pide los x para los cuales converge. Es una serie de potencias. Seguro podes usar Cauchy o D'Alambert o comparacion

\(ln (1+x) \leq x\). Deatlles:

De hecho, podés comparar \(\frac{\ln (1+ \frac{1}{n})}{n}\) con \(\frac{1}{n^2}\) y te debería dar que se portan igual... con lo que en realidad, tu serie se comporta igual que \(\displaystyle \sum_{1}^\infty \frac{x^n}{n^2}\). El criterio de la raíz te permite deducir que esto converge para \(|x| \leq 1\) (haciendo a mano los bordes). Estoy dormido y medio pensando en otra cosa, pero creo que eso está bien.

Che, pero eso no entra no????

Si vieron series, sí. Si no, no.

Es un ejercicio típico de cbc, de análisis

Si, supongo que puede llegar a tocar. Aunque la verdad, mucho contenido no nos dieron... bue, en fin, mil gracias como siempre. me faltaba darme cuenta de la comparacion del logaritmo jaja. Buen dato ese.