Bien. Como veran me cuestan las series jajaja. Aca van dos mas, desde ya gracias por la ayuda:
\({A}_{n} > 0, {A}_{n} \neq e \forall n, \sum_{n=1}^{\infty} ln({A}_{n})\) es absolutamente convergente. Decidir si convergen:
1.a) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ln({A}_{n})}{ln({A}_{n})-1}\)
1.b) \(\sum_{n=1}^{\infty}{A}_{n}\)
Sabiendo que \(\sum_{n=0}^{\infty} {x}^{n} {A}_{n}\) converge para \(x=-2\) y diverge para \(x=4\). Que se puede decir sobre:
2.a) \(\sum_{n=0}^{\infty}{A}_{n}\)
2.b) \(\sum_{n=1}^{\infty}{A}_{n}{3}^{n}\)
2.c) \(\sum_{n=1}^{\infty}{A}_{n}{(-5)}^{n}\)
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Hay 10 tipos de personas en el mundo. Los que entienden binario, y los que no...
Resuelvo la primera parte
1)
Observá que \(\sum_{n\eq=1}^{\infty}ln({A}_{n})<\infty\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}ln({A}_{n})\eq=0\). Puesto que el logaritmo natural es una función continua, y solo se hace 0 cuando los valores se acercan a 1, y el límite DEBE existir, porque converge al 0, concluís que \(\lim_{n\rightarrow \infty}{A}_{n}\eq=1\). Esto inmediatamente hace que \(\sum_{n\eq=1}^{\infty}{A}_{n}\) no converja, pues el límite de \({A}_{n}\neq 0\)(es decir, en las series, es una condición suficiente de divergencia que el límite de la sucesión de la serie sea distinto de 0). Con respecto a la otra serie, observá que está bien definida pues el denominador no puede anularse(\({A}_{n}\neq e\forall n\)). Pero esta sucesión no goza de ser toda positiva. Luego, estudio el módulo:
Está sucesión es positiva, luego vale el criterio de comparación por límite. En efecto, si la comparás con \(|ln({A}_{n})|\), obtenés:
\(|\frac{\frac{ln({A}_{n})}{ln({A}_{n})-1}}{ln({A}_{n})}|\eq=\frac{1}{|ln({A}_{n})-1|}\). Y esta sucesión, cuando calculás su límite, tiende a 1, que es >0. Luego, por hipótesis, \(\sum_{n\eq=1}^{\infty}|ln({A}_{n})|\) converge. Luego converge \(\sum_{n\eq=1}^{\infty}|\frac{ln({A}_{n})}{ln({A}_{n})-1}|\). Luego la serie a estudiar es absolutamente convergente. Se concluye que \(\sum_{n\eq=1}^{\infty}\frac{ln({A}_{n})}{ln({A}_{n})-1}\)
Espero haber ayudado. Ahora miro los otros.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Hay un problema en tu demostracion:
Vos afirmas que si \(x_n\) es una sucesion y \(f(x_n) \rightarrow f(y) \Rightarrow x_n \rightarrow y\) Esto es falso en general (suponete que f es 0), aunque como el ln es creciente algo se puede argumentar.
Lo que si vale y es lo que en realidad usas es que (en ese caso) \(A_n \rightarrow 0\) entonces el logaritmo no puede tender a 0.
Ojo!
Espero no haber metido la pata 😉
Pero el logaritmo natural es una función continua y además, según el argumento que puse, es una función distinta del 0(en efecto, dije que la única forma de anularse, o de que tal límite sea 0, es tomando valores suficientemente cercanos al 1). Como el límite existe, y es 0, y \({A}_{n}\) es una sucesión, la única manera que tal límite sea 0 es que \(\lim_{n\rightarrow \infty}{A}_{n}\eq= 1\). Es decir, usé que la función es el logaritmo natural y es continua
Si, estoy de acuerdo. Pero estoy diciendo que solo toma valores cercanos al 0 el logaritmo natural si tomo un intervalo suficientemente chico en torno al 1. De alguna manera, estoy usando que es inyectiva, lo que pasa es que tengo que hacer un paso al límite. Eso es lo que digo.
No entiendo por qué tanto problema. La función exponencial es inversa del logaritmo, y al ser continua, \(\lim A_n = \lim e^{\ln A_n} = e^{\lim \ln A_n} = e^0 = 1\). Digo, exequiel, me aprece más fácil hacer eso que argumentar lo que decís vos. Ahí usas que es inyectiva porque le encontraste una inversa. Saludos.
PD: Como no me cansé de repetir el año pasado: En análisis 1 (y en todo), hay que hacerse la vida fáaaaaaaacil...