Lamento, pero no se la adecuadamente cuando se tomó este final y que ejercicio era... pero lo pongo igual.
Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), estrictamente positiva y continua, y sea \(F(x,y)\eq=\int_{0}^{xy}f(t)dt\). Hallar los puntos críticos de F y clasificarlos.
Observemos que f es continua en todo su dominio, y estrictamente positiva. Luego, dado el intervalo \([a,b],\;a<b\), f es integrable y su integral es positiva, vale decir, \(\int_{a}^{b}f(t)dt>0\). Luego, puesto que \(g(x,y)\eq=xy\) es continua y diferenciable, fijados x,y, la integral \(\int_{0}^{xy}f(t)dt\) existe; más aun, el teorema fundamental del cálculo, asegura, una vez fijada una variable, que la función(fijé la y)\(G(x)\eq=\int_{0}^{x{y}_{0}}f(t)dt\) es diferenciable, particularmente, en todo \(\mathbb{R}\). Aún más, el teorema asegura que:
$${F}_{x}(x,y)\eq=f(xy)\cdot y$$
$${F}_{y}(x,y)\eq=f(xy)\cdot x$$
Puesto que la función es diferenciable, hay que igualar a 0 cara derivada parcial; puesto que f es estrictamente positiva, la única forma de que se anule el gradiente es en el punto \((0,0)\). Ahora estudiemos finalmente a este punto crítico. Notemos que no podemos usar el criterio del hessiano, porque la función f es continua, pero no se dio más información sobre la diferenciabilidad. Luego, tenemos que ''estudiarlo a mano.'' Supongamos que el (0,0) es un extremo; puede ser un máximo, o mínimo; supongámoslo máximo. Luego, debería valer que existe una bola \({B}_{((0,0),\delta)}\eq=B:\forall (x,y)\in B,F(x)\leq F(0,0)\eq=0\)(F(0,0) vale 0 debido a que tengo la integral \(\int_{0}^{0}f(t)dt\eq=0\), por definición). Si tomamos los puntos de la bola de la forma \((x,x)\), obtenemos:\(F(x,x)\eq=\int_{0}^{{x}^{2}}f(t)dt\). Como \({x}^{2}\geq 0,\forall x\), en particular, puedo tomarlo mayor que 0, se concluye, como la función es estrictamente positiva, que la integral es positiva, vale decir, \(F(x,x)\eq=\int_{0}^{{x}^{2}}f(t)dt>0\). Si ahora tomamos los puntos de la bola de la forma \((x,-x)\), obtenemos \(F(x,x)\eq=\int_{0}^{-{x}^{2}}f(t)dt\). Como \(-{x}^{2}\leq0,\forall x\), sucede que puedo tomar el x de manera que sea la desigualdad estricta, luego, por definición, tengo que cambiar los limites de integración, cambiando el signo. Queda: \(-\int_{-{x}^{2}}^{0}f(t)dt<0\), por razones análogas a las anteriores. Luego, en la misma bola hallé valores donde la función era mayor que 0 y menor que 0. Esto refuta la posibilidad de tratarse de un máximo o un mínimo. Luego es un punto de ensilladura el \((0,0)\)
Espero que haya ayudado. Saludos.
Edit: gracias Agustín. Ya cambié la fecha
Edit 2: cambié mínimo por máximo; gracias Daniel
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Bien, bien, ahora lo cambio; gracias. Por favor, en el final no cometan este error ridículo, pero importante (nota: cambié lo que dijiste, Daniel; al principio no veía lo que decías. Así que la resolución presenta las letras cambiadas y mínimo por máximo)
Lamento, pero no se la adecuadamente cuando se tomó este final y que ejercicio era... pero lo pongo igual.
Sea \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), estrictamente positiva y continua, y sea \(F(x,y)\eq=\int_{0}^{xy}f(t)dt\). Hallar los puntos críticos de F y clasificarlos.
Observemos que f es continua en todo su dominio, y estrictamente positiva. Luego, dado el intervalo \([a,b],\;a<b\), f es integrable y su integral es positiva, vale decir, \(\int_{a}^{b}f(t)dt>0\). Luego, puesto que \(g(x,y)\eq=xy\) es continua y diferenciable, fijados x,y, la integral \(\int_{0}^{xy}f(t)dt\) existe; más aun, el teorema fundamental del cálculo, asegura, una vez fijada una variable, que la función(fijé la y)\(G(x)\eq=\int_{0}^{x{y}_{0}}f(t)dt\) es diferenciable, particularmente, en todo \(\mathbb{R}\). Aún más, el teorema asegura que:
$${F}_{x}(x,y)\eq=f(xy)\cdot y$$
$${F}_{y}(x,y)\eq=f(xy)\cdot x$$
Puesto que la función es diferenciable, hay que igualar a 0 cara derivada parcial; puesto que f es estrictamente positiva, la única forma de que se anule el gradiente es en el punto \((0,0)\). Ahora estudiemos finalmente a este punto crítico. Notemos que no podemos usar el criterio del hessiano, porque la función f es continua, pero no se dio más información sobre la diferenciabilidad. Luego, tenemos que ''estudiarlo a mano.'' Supongamos que el (0,0) es un extremo; puede ser un máximo, o mínimo; supongámoslo máximo. Luego, debería valer que existe una bola \({B}_{((0,0),\delta)}\eq=B:\forall (x,y)\in B,F(x)\leq F(0,0)\eq=0\)(F(0,0) vale 0 debido a que tengo la integral \(\int_{0}^{0}f(t)dt\eq=0\), por definición). Si tomamos los puntos de la bola de la forma \((x,x)\), obtenemos:\(F(x,x)\eq=\int_{0}^{{x}^{2}}f(t)dt\). Como \({x}^{2}\geq 0,\forall x\), en particular, puedo tomarlo mayor que 0, se concluye, como la función es estrictamente positiva, que la integral es positiva, vale decir, \(F(x,x)\eq=\int_{0}^{{x}^{2}}f(t)dt>0\). Si ahora tomamos los puntos de la bola de la forma \((x,-x)\), obtenemos \(F(x,x)\eq=\int_{0}^{-{x}^{2}}f(t)dt\). Como \(-{x}^{2}\leq0,\forall x\), sucede que puedo tomar el x de manera que sea la desigualdad estricta, luego, por definición, tengo que cambiar los limites de integración, cambiando el signo. Queda: \(-\int_{-{x}^{2}}^{0}f(t)dt<0\), por razones análogas a las anteriores. Luego, en la misma bola hallé valores donde la función era mayor que 0 y menor que 0. Esto refuta la posibilidad de tratarse de un máximo o un mínimo. Luego es un punto de ensilladura el \((0,0)\)
Espero que haya ayudado. Saludos.
Edit: gracias Agustín. Ya cambié la fecha
Edit 2: cambié mínimo por máximo; gracias Daniel
el teorema asegura que:
$${F}_{x}(x,y)\eq=f(xy)\cdot y$$
$${F}_{y}(x,y)\eq=f(xy)\cdot x$$
No entiendo bien esa parte. \({F}_{x}(x,y)\eq=f(xy)\cdot y\) esa "y" sale por ser constante de derivar G(x)=xy?
En \({F}_{y}(x,y)\eq=f(xy)\cdot x\) fijás x y pasa lo mismo que lo anterior tomando un función P(y)?
Osea que el gradiente de F(x,y) sería gradiente de F(G(x),P(y))?
En efecto, sale de mantener constante \(y\) o la otra variable, según corresponda. Si quérés verlo mejor, podés pensar así: tenés fijo \({y}_{0}\), luego tenés la integral \(\int_{0}^{x{y}_{0}}f(t)dt\). Si hacés el cambio de variable \(t\eq=r{y}_{0}\), resulta que \(dt\eq={y}_{0}dr\), luego, además, cambia el límite de integración, porque ahora \(x{y}_{0}\eq=r{y}_{0}\) vale con \(r\eq=x\)(el caso \({y}_{0}\eq=0\) estudialo aparte); te queda \(\int_{0}^{x}f(r{y}_{0}){y}_{0}dr\) y ahora si el teorema fundamental del cálculo asegura la derivada buscada, \({F}_{x}(x,y)\eq=f(xy)\cdot y\). Si \({y}_{0}\eq=0\), antes de derivar vale \(0\) la función, y la derivada de \(0\) es, nuevamente \(0\). Con lo que sigue valiendo, para cualquier \({y}_{0}\), que \({F}_{x}(x,y)\eq=f(xy)\cdot y\). Hacés lo mismo con \({F}_{y}\) y listo. Espero haber aclarado un poco más.
Pensé el siguiente ejercicio, algo parecido a este. Espero que sirva como práctica:
Estudiar los extremos sobre \(\mathbb{R}^{2}\) de \(F(x,y)\eq=\int_{0}^{x}\int_{0}^{y} g(h,k)\cdot h\cdot k \; dh\;dk\), sabiendo que \(g(h,k)\eq=a(h)\cdot b(k)\), siendo \(a,\;b\) continuas y estrictamente positivas.
ay, yo lo había pensado de otra manera, seguramente está mal, pero me gustaría saber donde está el error si alguien me dice por favor
yo había dicho que como f es contínua se podía usar el teorema del valor medio, e iba a haber un c entre a y b tal que
$$\int_{0}^{xy} f(t) dt = f(c)xy$$
y ese f(c) tiene que ser un número positivo, porque f es estrictamente positiva. Entonces te queda que el único punto crítico es el (0,0), y etc...
hay algo que no estoy viendo? les agradecería mucho si me dicen 🙂
Firma
Measure your life in love.
("Vete, pues. Existen otros mundos aparte de estos.")
La única complicación es que no obtenés puntos críticos por ese método. Ojo, en realidad lo que vos decís tiene el corolario que resuelve el problema. Repito; el \((0,0)\) en el Teorema del Valor Medio no es un punto crítico, porque no es un punto donde se anula el gradiente de \(F\). No se si estoy confundiendo más... pero como se piden puntos críticos... tenés que derivar. Espero aber sido claro. Saludos.
Como f(c) es un número positivo (distinto de 0), ahí puedo derivar sin ningún tipo de problema, y de ahí saco que el gradiente es nulo en el (0,0). está bien eso?
perdón por no haber explicado bien antes, pasa que mi pregunta se refería más a si es correcto usar el teorema del valor medio cuadno en vez de "a" y "b" fijos tengo "a" y "cualquier punto".
Ahh... no dijiste eso antes, o si? De igual manera \(f(c)\) depende de \(xy\), con lo que cuando derivás, no termina de quedar claro que es derivar \(f(c)xy\). Ahora que lo veo, es probable que arribes al mismo resultado, pero el paso no es tan ''inmediato''. Hay que justificar más. Fijate lo que te digo. Saludos.
Hola! Perdón, se que este es un post bastante viejo, pero estoy preparando el final para este martes y me van surgiendo dudas... Yo resolví este considerando a F como composición de una derivable (\(h(u)=\int_{0}^{u}f(t)dt\)) con una diferenciable (\(g(x,y)=xy\)), por lo tanto podía usar regla de la cadena y llegué al mismo resultado que exequiel. En cuanto a lo de Bel, puede ser que se pueda hacer de esa manera, pero me parece que no, porque no sabemos si \(f\) es derivable. Por otro lado, no entiendo como hacer el ejercicio que planteó exequiel:
Estudiar los extremos sobre \(\mathbb{R}^{2}\) de \(F(x,y)\eq=\int_{0}^{x}\int_{0}^{y} g(h,k)\cdot h\cdot k \; dh\;dk\), sabiendo que \(g(h,k)\eq=a(h)\cdot b(k)\), siendo \(a,\;b\) continuas y estrictamente positivas.
En realidad tampoco me quedó muy claro cuando exequiel explicó su idea de hacer el cambio de variable, por qué quedaba la x sola en el borde superior de \(\int_{0}^{x}f(r{y}_{0}){y}_{0}dr\).
Si alguien me responde, le voy a estar muy agradecido!
A ver qué les parece esta conjetura y si se puede aplicar acá. Si \(f\) es una función estrictamente monótona, entonces los máximos y mínimos de \(f\circ g\) serán máximos y mínimos de \(g\).