[a resolver] Final 27/12/06 - Ejercicio 2

Sea \(C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}\) una curva diferenciable tal que
\(C(0)=C(1)\). probar que existe \({t}_{0} \in (0,1)\) tal que
\(C'({t}_{0})\) es perpendicular a \(C({t}_{0})\)

Yo pensé la siguiente resolución(adiviná que teorema te permite resolver el ejercicio...):
Parece raro lo que voy a plantear, pero no lo es tanto. Se que \(c:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}\) es diferenciable en \((0,1)\) y continua en \([0,1]\), por hipótesis. Luego, además, \(C(0)\eq=C(1)\). Sea ahora, descrita, \(C(t)\eq=({C}_{1}(t),{C}_{2}(t))\). Construímos la siguiente función \(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R},\;f(x,y)\eq=\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}\). Esta función es diferenciable, pero particularmente \(h\eq={f}_{0}C(t)\) lo es y en \((0,1)\) es diferenciable, y continua en \([0,1]\). Sabiendo que \(C(0)\eq=C(1)\implies f(C(0))\eq=f(C(1))\implies h(0)\eq=h(1)\). Aplicando el teorema de Lagrange en el intervalo sugerido \((0,1)\), tenemos:
\(h(1)-h(0)\eq=0\eq=h'(t),\;c\in (0,1)\). Pero \(h'(t)\) te lo da la regla de la cadena, y es \(\nabla f(C(t)) C'(t)\). Ahora se va a entender por qué tomé esa \(f\) particular; si calculás \({f}_{x}(x,y)\eq=x\). Pero tenés \({f}_{x}(C(t))\eq={f}_{x}({C}_{1}(t),{C}_{2}(t))\). Luego, reemplazando, queda \({f}_{x}(C(t))\eq={C}_{1}(t)\). De manera análoga, podés verificar que \({f}_{y}(x,y)\eq=y\implies {f}_{y}(C(t))\eq={C}_{2}(t)\). ¿Quién es ahora \(\nabla f(C(t))\)?, reemplazando, queda \(\nabla f(C(t))\eq=({C}_{1}(t),{C}_{2}(t))\), que no es otra cosa que \(C(t)\). Luego, queda, metiendo todo en la expresión inicial de Lagrange, \(C(t)\cdot C'(t)\eq=0\), lo que claramente es equivalente a que ambos vectores sean perpendiculares. Luego existe \(t\in (0,1)\) tal que \(C(t),\;C'(t)\) sean perpendiculares, como queríamos probar.
Espero haber ayudado. Saludos.

gracias! yo sabia que iba encaminado por ahi... no se me ocurrio inventar una f!

Voy a proponer una (la misma) solución que Exequiel, pero planteándola de otra manera...

Que dos vectores v y w sean ortogonales quiere decir que si tomamos el producto interno entre los dos, \(<v,w> = 0\). Entonces, querríamos ver que en algún t, \(<c(t),c'(t)> = 0\). Ahora, tomemos la función \(F(t) = <c(t),c(t)>\). Como \(F(0) = F(1)\), y es claramente diferenciable (recuerden que la formula del producto interno es un polinomio en las variables, así que es \(C^\infty\)...), tenemos que en algún punto, \(F'(t_0)=0\). Pero como toda cosa que merezca llamarse producto, el producto interno satisface la regla del producto de Leibniz (la derivada de un producto es...), es decir, \(F'(t) = <c'(t),c(t)> + <c(t),c'(t)> = 2<c'(t),c(t)>\). Luego, en \(t_0, \ <c'(t_0),c(t_0)>=0\), ie, el vector posición es perpendicular al vector velocidad.

Lo quise contar para que se viera que la función que propone exequiel sale naturalmente del enunciado del ejercicio... Saludos.